ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodconst GIF version

Theorem fprodconst 11628
Description: The product of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fprodconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fprodconst
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
32oveq2d 5891 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)))
41, 3eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…))))
5 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
6 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
76oveq2d 5891 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)))
85, 7eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))))
9 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
10 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1110oveq2d 5891 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))
129, 11eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))))
13 prodeq1 11561 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
14 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514oveq2d 5891 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐ด)))
1613, 15eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)) โ†” โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐ด))))
17 prod0 11593 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
18 hash0 10776 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
1918oveq2i 5886 . . . 4 (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)) = (๐ตโ†‘0)
20 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120exp0d 10648 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
2219, 21eqtrid 2222 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)) = 1)
2317, 22eqtr4id 2229 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)))
24 simpr 110 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)))
2524oveq1d 5890 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท ๐ต) = ((๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท ๐ต))
26 nfcv 2319 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜๐ต
27 simplr 528 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
28 simprr 531 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
2928eldifbd 3142 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
30 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
32 eqidd 2178 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = ๐ต)
3326, 27, 28, 29, 30, 31, 32fprodunsn 11612 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท ๐ต))
3427, 29jca 306 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ))
35 hashunsng 10787 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
3628, 34, 35sylc 62 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
3736oveq2d 5891 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = (๐ตโ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
38 hashcl 10761 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
3927, 38syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4031, 39expp1d 10655 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ตโ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)) = ((๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท ๐ต))
4137, 40eqtrd 2210 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท ๐ต))
4233, 41eqeq12d 2192 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท ๐ต) = ((๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท ๐ต)))
4342adantr 276 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท ๐ต) = ((๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท ๐ต)))
4425, 43mpbird 167 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))
4544ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))))
46 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
474, 8, 12, 16, 23, 45, 46findcard2sd 6892 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โˆ– cdif 3127   โˆช cun 3128   โŠ† wss 3130  โˆ…c0 3423  {csn 3593  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816  โ„•0cn0 9176  โ†‘cexp 10519  โ™ฏchash 10755  โˆcprod 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator