ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodconst GIF version

Theorem fprodconst 11583
Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fprodconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 fveq2 5496 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
32oveq2d 5869 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘∅)))
41, 3eqeq12d 2185 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅))))
5 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
6 fveq2 5496 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
76oveq2d 5869 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
85, 7eqeq12d 2185 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))))
9 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10 fveq2 5496 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1110oveq2d 5869 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
129, 11eqeq12d 2185 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
13 prodeq1 11516 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
14 fveq2 5496 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
1514oveq2d 5869 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
1613, 15eqeq12d 2185 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
17 prod0 11548 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
18 hash0 10731 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1918oveq2i 5864 . . . 4 (𝐵↑(♯‘∅)) = (𝐵↑0)
20 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2120exp0d 10603 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
2219, 21eqtrid 2215 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(♯‘∅)) = 1)
2317, 22eqtr4id 2222 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅)))
24 simpr 109 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
2524oveq1d 5868 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
26 nfcv 2312 . . . . . . 7 𝑘𝐵
27 simplr 525 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simprr 527 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2928eldifbd 3133 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
30 simp-4r 537 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 simpllr 529 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 eqidd 2171 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝐵)
3326, 27, 28, 29, 30, 31, 32fprodunsn 11567 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵))
3427, 29jca 304 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦))
35 hashunsng 10742 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
3628, 34, 35sylc 62 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
3736oveq2d 5869 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)))
38 hashcl 10715 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
3927, 38syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4031, 39expp1d 10610 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
4137, 40eqtrd 2203 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
4233, 41eqeq12d 2185 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
4342adantr 274 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
4425, 43mpbird 166 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4544ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
46 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
474, 8, 12, 16, 23, 45, 46findcard2sd 6870 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  cdif 3118  cun 3119  wss 3121  c0 3414  {csn 3583  cfv 5198  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  0cn0 9135  cexp 10475  chash 10709  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator