Theorem fprodconst 12314

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12247	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		fveq2 5672	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
3	2	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘∅)))
4	1, 3	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅))))
5		prodeq1 12247	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
6		fveq2 5672	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
7	6	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
8	5, 7	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))))
9		prodeq1 12247	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10		fveq2 5672	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
11	10	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
12	9, 11	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
13		prodeq1 12247	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14		fveq2 5672	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
15	14	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
16	13, 15	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
17		prod0 12279	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
18		hash0 11167	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	18	oveq2i 6063	. . . 4 ⊢ (𝐵↑(♯‘∅)) = (𝐵↑0)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	exp0d 11037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
22	19, 21	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(♯‘∅)) = 1)
23	17, 22	eqtr4id 2286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅)))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
25	24	oveq1d 6067	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
26		nfcv 2386	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
27		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
29	28	eldifbd 3225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
30		simp-4r 544	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = 𝐵)
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 12298	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵))
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
35		hashunsng 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
37	36	oveq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)))
38		hashcl 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
40	31, 39	expp1d 11044	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
41	37, 40	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
42	33, 41	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
45	44	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
46		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 7151	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3210   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510  {csn 3691  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  ℕ₀cn0 9501  ↑cexp 10907  ♯chash 11146  ∏cprod 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-proddc 12245

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15988  gausslemma2dlem6  15989