Theorem fprodconst 11583

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11516	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		fveq2 5496	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
3	2	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘∅)))
4	1, 3	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅))))
5		prodeq1 11516	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
6		fveq2 5496	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
7	6	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
8	5, 7	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))))
9		prodeq1 11516	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10		fveq2 5496	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
11	10	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
12	9, 11	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
13		prodeq1 11516	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14		fveq2 5496	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
15	14	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
16	13, 15	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
17		prod0 11548	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
18		hash0 10731	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	18	oveq2i 5864	. . . 4 ⊢ (𝐵↑(♯‘∅)) = (𝐵↑0)
20		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	exp0d 10603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
22	19, 21	eqtrid 2215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(♯‘∅)) = 1)
23	17, 22	eqtr4id 2222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅)))
24		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
25	24	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
26		nfcv 2312	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
27		simplr 525	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simprr 527	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
29	28	eldifbd 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
30		simp-4r 537	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		simpllr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		eqidd 2171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = 𝐵)
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 11567	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵))
34	27, 29	jca 304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
35		hashunsng 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
37	36	oveq2d 5869	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)))
38		hashcl 10715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
40	31, 39	expp1d 10610	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
41	37, 40	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
42	33, 41	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
43	42	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
44	25, 43	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
45	44	ex 114	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
46		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 6870	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℕ₀cn0 9135  ↑cexp 10475  ♯chash 10709  ∏cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by: (None)