Theorem fprodconst 12139

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12072	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
3	2	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘∅)))
4	1, 3	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅))))
5		prodeq1 12072	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
6		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
7	6	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
8	5, 7	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))))
9		prodeq1 12072	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
11	10	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
12	9, 11	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
13		prodeq1 12072	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
15	14	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
16	13, 15	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
17		prod0 12104	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
18		hash0 11026	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	18	oveq2i 6018	. . . 4 ⊢ (𝐵↑(♯‘∅)) = (𝐵↑0)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	exp0d 10897	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
22	19, 21	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(♯‘∅)) = 1)
23	17, 22	eqtr4id 2281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅)))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
25	24	oveq1d 6022	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
26		nfcv 2372	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
27		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
29	28	eldifbd 3209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
30		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = 𝐵)
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 12123	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵))
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
35		hashunsng 11037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
37	36	oveq2d 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)))
38		hashcl 11011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
40	31, 39	expp1d 10904	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
41	37, 40	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
42	33, 41	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
45	44	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
46		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 7062	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012  ℕ₀cn0 9377  ↑cexp 10768  ♯chash 11005  ∏cprod 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-proddc 12070

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15753  gausslemma2dlem6  15754