ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodconst GIF version

Theorem fprodconst 11517
Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fprodconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11450 . . 3 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 fveq2 5468 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
32oveq2d 5840 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘∅)))
41, 3eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = ∅ → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅))))
5 prodeq1 11450 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
6 fveq2 5468 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
76oveq2d 5840 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
85, 7eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))))
9 prodeq1 11450 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10 fveq2 5468 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1110oveq2d 5840 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
129, 11eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
13 prodeq1 11450 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ∏𝑘𝑤 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
14 fveq2 5468 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
1514oveq2d 5840 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝐵↑(♯‘𝑤)) = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
1613, 15eqeq12d 2172 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (∏𝑘𝑤 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑤)) ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
17 prod0 11482 . . 3 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
18 hash0 10671 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1918oveq2i 5835 . . . 4 (𝐵↑(♯‘∅)) = (𝐵↑0)
20 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2120exp0d 10545 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
2219, 21syl5eq 2202 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(♯‘∅)) = 1)
2317, 22eqtr4id 2209 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = (𝐵↑(♯‘∅)))
24 simpr 109 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)))
2524oveq1d 5839 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
26 nfcv 2299 . . . . . . 7 𝑘𝐵
27 simplr 520 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simprr 522 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2928eldifbd 3114 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
30 simp-4r 532 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 simpllr 524 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 eqidd 2158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝐵)
3326, 27, 28, 29, 30, 31, 32fprodunsn 11501 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵))
3427, 29jca 304 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦))
35 hashunsng 10681 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
3628, 34, 35sylc 62 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
3736oveq2d 5840 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)))
38 hashcl 10655 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
3927, 38syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4031, 39expp1d 10552 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑((♯‘𝑦) + 1)) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
4137, 40eqtrd 2190 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵))
4233, 41eqeq12d 2172 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
4342adantr 274 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝐵) = ((𝐵↑(♯‘𝑦)) · 𝐵)))
4425, 43mpbird 166 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4544ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝑦)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (𝐵↑(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
46 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
474, 8, 12, 16, 23, 45, 46findcard2sd 6837 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  cdif 3099  cun 3100  wss 3102  c0 3394  {csn 3560  cfv 5170  (class class class)co 5824  Fincfn 6685  cc 7730  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737  0cn0 9090  cexp 10418  chash 10649  cprod 11447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator