Theorem 0nnq 7721

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2429	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		enqer 7715	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		erdm 6807	. . . . 5 ⊢ ( ~Q Er (N × N) → dom ~Q = (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~Q = (N × N)
5		elqsn0 6868	. . . 4 ⊢ ((dom ~Q = (N × N) ∧ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 428	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ((N × N) / ~Q ) → ∅ ≠ ∅)
7	1, 6	mto 672	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )
8		df-nqqs 7705	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	8	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (∅ ∈ Q ↔ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q ))
10	7, 9	mtbir 682	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520   × cxp 4767  dom cdm 4769   Er wer 6794   / cqs 6796  Ncnpi 7629   ~_Q ceq 7636  Qcnq 7637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-enq 7704  df-nqqs 7705

This theorem is referenced by: (None)