Theorem 0nnq 7512

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2387	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		enqer 7506	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		erdm 6653	. . . . 5 ⊢ ( ~Q Er (N × N) → dom ~Q = (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~Q = (N × N)
5		elqsn0 6714	. . . 4 ⊢ ((dom ~Q = (N × N) ∧ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ((N × N) / ~Q ) → ∅ ≠ ∅)
7	1, 6	mto 664	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )
8		df-nqqs 7496	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	8	eleq2i 2274	. 2 ⊢ (∅ ∈ Q ↔ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q ))
10	7, 9	mtbir 673	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∅c0 3468   × cxp 4691  dom cdm 4693   Er wer 6640   / cqs 6642  Ncnpi 7420   ~_Q ceq 7427  Qcnq 7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-mi 7454  df-enq 7495  df-nqqs 7496

This theorem is referenced by: (None)