Theorem 0nnq 7172

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2317	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		enqer 7166	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		erdm 6439	. . . . 5 ⊢ ( ~Q Er (N × N) → dom ~Q = (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~Q = (N × N)
5		elqsn0 6498	. . . 4 ⊢ ((dom ~Q = (N × N) ∧ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 420	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ((N × N) / ~Q ) → ∅ ≠ ∅)
7	1, 6	mto 651	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )
8		df-nqqs 7156	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	8	eleq2i 2206	. 2 ⊢ (∅ ∈ Q ↔ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q ))
10	7, 9	mtbir 660	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363   × cxp 4537  dom cdm 4539   Er wer 6426   / cqs 6428  Ncnpi 7080   ~_Q ceq 7087  Qcnq 7088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-enq 7155  df-nqqs 7156

This theorem is referenced by: (None)