Theorem 0nnq 7424

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2373	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
2		enqer 7418	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		erdm 6597	. . . . 5 ⊢ ( ~Q Er (N × N) → dom ~Q = (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~Q = (N × N)
5		elqsn0 6658	. . . 4 ⊢ ((dom ~Q = (N × N) ∧ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ((N × N) / ~Q ) → ∅ ≠ ∅)
7	1, 6	mto 663	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )
8		df-nqqs 7408	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	8	eleq2i 2260	. 2 ⊢ (∅ ∈ Q ↔ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q ))
10	7, 9	mtbir 672	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3446   × cxp 4657  dom cdm 4659   Er wer 6584   / cqs 6586  Ncnpi 7332   ~_Q ceq 7339  Qcnq 7340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-enq 7407  df-nqqs 7408

This theorem is referenced by: (None)