Theorem ecelqsdm 6710

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ecelqsdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0m 6708	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ [𝐵]𝑅)
2		ecdmn0m 6682	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ [𝐵]𝑅)
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ dom 𝑅)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → dom 𝑅 = 𝐴)
5	3, 4	eleqtrd 2285	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  dom cdm 4688  [cec 6636   / cqs 6637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-ec 6640  df-qs 6644

This theorem is referenced by:  th3qlem1  6742  nnnq0lem1  7589  prsrlem1  7885  gt0srpr  7891