ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nsr GIF version

Theorem 0nsr 7445
Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0nsr ¬ ∅ ∈ R

Proof of Theorem 0nsr
StepHypRef Expression
1 eqid 2100 . 2 ∅ = ∅
2 enrer 7431 . . . . . 6 ~R Er (P × P)
3 erdm 6369 . . . . . 6 ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 dom ~R = (P × P)
5 elqsn0 6428 . . . . 5 ((dom ~R = (P × P) ∧ ∅ ∈ ((P × P) / ~R )) → ∅ ≠ ∅)
64, 5mpan 418 . . . 4 (∅ ∈ ((P × P) / ~R ) → ∅ ≠ ∅)
7 df-nr 7423 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
86, 7eleq2s 2194 . . 3 (∅ ∈ R → ∅ ≠ ∅)
98necon2bi 2322 . 2 (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ R)
101, 9ax-mp 7 1 ¬ ∅ ∈ R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1299  wcel 1448  wne 2267  c0 3310   × cxp 4475  dom cdm 4477   Er wer 6356   / cqs 6358  Pcnp 7000   ~R cer 7005  Rcnr 7006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-2o 6244  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062  df-enq0 7133  df-nq0 7134  df-0nq0 7135  df-plq0 7136  df-mq0 7137  df-inp 7175  df-iplp 7177  df-enr 7422  df-nr 7423
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator