Theorem 0nsr 7833

Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0nsr	⊢ ¬ ∅ ∈ R

Proof of Theorem 0nsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		enrer 7819	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
3		erdm 6611	. . . . . 6 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ~R = (P × P)
5		elqsn0 6672	. . . . 5 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ ∅ ∈ ((P × P) / ~R )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ((P × P) / ~R ) → ∅ ≠ ∅)
7		df-nr 7811	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleq2s 2291	. . 3 ⊢ (∅ ∈ R → ∅ ≠ ∅)
9	8	necon2bi 2422	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ R)
10	1, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3451   × cxp 4662  dom cdm 4664   Er wer 6598   / cqs 6600  Pcnp 7375   ~_R cer 7380  Rcnr 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-iplp 7552  df-enr 7810  df-nr 7811

This theorem is referenced by: (None)