Theorem pcpremul 12871

Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ℚ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcpremul.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpremul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3312	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℕ0
2		nn0ssz 9497	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
3	1, 2	sstri 3236	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
5		prmuz2 12708	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	3ad2ant1 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		zmulcl 9533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		simp2l 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simp3l 1051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 9603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		simp2r 1050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
15		0zd 9491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
16		zapne 9554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
18	14, 17	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 # 0)
19		simp3r 1052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
20		zapne 9554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
21	12, 15, 20	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 # 0)
23	11, 13, 18, 22	mulap0d 8838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) # 0)
24		zapne 9554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
25	9, 15, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
27		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
28	27	pclemdc 12866	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
29	6, 9, 26, 28	syl12anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
30	27	pclemub 12865	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
31	6, 9, 26, 30	syl12anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
32		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
33	32	breq1d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
34		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}
35		pcpremul.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
36	34, 35	pcprecl 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
37	6, 10, 14, 36	syl12anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
38	37	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
39		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
40		pcpremul.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
41	39, 40	pcprecl 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
42	6, 12, 19, 41	syl12anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
43	42	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
44	38, 43	nn0addcld 9459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
45		prmnn 12687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
46	45	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47	46, 44	nnexpcld 10958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
48	47	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
49	46, 43	nnexpcld 10958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℕ)
50	49	nnzd 9601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ)
51	10, 50	zmulcld 9608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
52	46	nncnd 9157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	52, 43, 38	expaddd 10938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)))
54	37	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀)
55	46, 38	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
57		dvdsmulc 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
58	56, 10, 50, 57	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
59	54, 58	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
60	53, 59	eqbrtrd 4110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
61	42	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁)
62		dvdscmul 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
63	50, 12, 10, 62	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65	48, 51, 9, 60, 64	dvdstrd 12396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
66	33, 44, 65	elrabd 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
67		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑛))
68	67	breq1d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
69	68	cbvrabv 2801	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
70	66, 69	eleqtrdi 2324	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
71	4, 29, 31, 70	suprzubdc 10497	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
72		pcpremul.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
73	71, 72	breqtrrdi 4130	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
74	34, 35	pcprendvds2 12869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
75	6, 10, 14, 74	syl12anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
76	39, 40	pcprendvds2 12869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
77	6, 12, 19, 76	syl12anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
78		ioran 759	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
79	75, 77, 78	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
80		simp1 1023	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	55	nnne0d 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
82		dvdsval2 12356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
83	56, 81, 10, 82	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
84	54, 83	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
85	49	nnne0d 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ≠ 0)
86		dvdsval2 12356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
87	50, 85, 12, 86	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
88	61, 87	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
89		euclemma 12723	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
90	80, 84, 88, 89	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
91	79, 90	mtbird 679	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
92	27, 72	pcprecl 12867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
93	6, 9, 26, 92	syl12anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
94	93	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
95		nn0ltp1le 9542	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
96	44, 94, 95	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
97	46	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
98		peano2nn0 9442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
99	44, 98	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
100		dvdsexp 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈))
101	100	3expia 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
102	97, 99, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
103	93	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
104	46, 99	nnexpcld 10958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
105	104	nnzd 9601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
106	46, 94	nnexpcld 10958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℕ)
107	106	nnzd 9601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ)
108		dvdstr 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
109	105, 107, 9, 108	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
110	103, 109	mpan2d 428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
111	102, 110	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
112	99	nn0zd 9600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
113	94	nn0zd 9600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
114		eluz 9769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
115	112, 113, 114	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
116	52, 44	expp1d 10937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
117	11, 13	mulcld 8200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
118	47	nncnd 9157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
119	47	nnap0d 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) # 0)
120	117, 118, 119	divcanap2d 8972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
121	53	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
122	55	nncnd 9157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
123	49	nncnd 9157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℂ)
124	55	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) # 0)
125	49	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) # 0)
126	11, 122, 13, 123, 124, 125	divmuldivapd 9012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
127	121, 126	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
128	127	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
129	120, 128	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
130	116, 129	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))))
131	84, 88	zmulcld 9608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ)
132	47	nnne0d 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
133		dvdscmulr 12386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
134	97, 131, 48, 132, 133	syl112anc 1277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
135	130, 134	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
136	111, 115, 135	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
137	96, 136	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
138	91, 137	mtod 669	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
139	44	nn0red 9456	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
140	94	nn0red 9456	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
141	139, 140	eqleltd 8296	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
142	73, 138, 141	mpbir2and 952	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  supcsup 7181  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   # cap 8761   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12353  ℙcprime 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685

This theorem is referenced by:  pceulem  12872  pcmul  12879