Theorem pcpremul 12293

Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ℚ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcpremul.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpremul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3241	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℕ0
2		nn0ssz 9271	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
3	1, 2	sstri 3165	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
5		prmuz2 12131	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	3ad2ant1 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		zmulcl 9306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1015	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		simp2l 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simp3l 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 9376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		simp2r 1024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
15		0zd 9265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
16		zapne 9327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
17	10, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
18	14, 17	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 # 0)
19		simp3r 1026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
20		zapne 9327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
21	12, 15, 20	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 # 0)
23	11, 13, 18, 22	mulap0d 8615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) # 0)
24		zapne 9327	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
25	9, 15, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
27		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
28	27	pclemdc 12288	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
29	6, 9, 26, 28	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
30	27	pclemub 12287	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
31	6, 9, 26, 30	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
32		oveq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
33	32	breq1d 4014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
34		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}
35		pcpremul.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
36	34, 35	pcprecl 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
37	6, 10, 14, 36	syl12anc 1236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
38	37	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
39		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
40		pcpremul.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
41	39, 40	pcprecl 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
42	6, 12, 19, 41	syl12anc 1236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
43	42	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
44	38, 43	nn0addcld 9233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
45		prmnn 12110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
46	45	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47	46, 44	nnexpcld 10676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
48	47	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
49	46, 43	nnexpcld 10676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℕ)
50	49	nnzd 9374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ)
51	10, 50	zmulcld 9381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
52	46	nncnd 8933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
53	52, 43, 38	expaddd 10656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)))
54	37	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀)
55	46, 38	nnexpcld 10676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
57		dvdsmulc 11826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
58	56, 10, 50, 57	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
59	54, 58	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
60	53, 59	eqbrtrd 4026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
61	42	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁)
62		dvdscmul 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
63	50, 12, 10, 62	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65	48, 51, 9, 60, 64	dvdstrd 11837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
66	33, 44, 65	elrabd 2896	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
67		oveq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑛))
68	67	breq1d 4014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
69	68	cbvrabv 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
70	66, 69	eleqtrdi 2270	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
71	4, 29, 31, 70	suprzubdc 11953	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
72		pcpremul.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
73	71, 72	breqtrrdi 4046	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
74	34, 35	pcprendvds2 12291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
75	6, 10, 14, 74	syl12anc 1236	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
76	39, 40	pcprendvds2 12291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
77	6, 12, 19, 76	syl12anc 1236	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
78		ioran 752	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
79	75, 77, 78	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
80		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	55	nnne0d 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
82		dvdsval2 11797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
83	56, 81, 10, 82	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
84	54, 83	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
85	49	nnne0d 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ≠ 0)
86		dvdsval2 11797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
87	50, 85, 12, 86	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
88	61, 87	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
89		euclemma 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
90	80, 84, 88, 89	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
91	79, 90	mtbird 673	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
92	27, 72	pcprecl 12289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
93	6, 9, 26, 92	syl12anc 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
94	93	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
95		nn0ltp1le 9315	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
96	44, 94, 95	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
97	46	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
98		peano2nn0 9216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
99	44, 98	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
100		dvdsexp 11867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈))
101	100	3expia 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
102	97, 99, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
103	93	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
104	46, 99	nnexpcld 10676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
105	104	nnzd 9374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
106	46, 94	nnexpcld 10676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℕ)
107	106	nnzd 9374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ)
108		dvdstr 11835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
109	105, 107, 9, 108	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
110	103, 109	mpan2d 428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
111	102, 110	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
112	99	nn0zd 9373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
113	94	nn0zd 9373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
114		eluz 9541	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
115	112, 113, 114	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
116	52, 44	expp1d 10655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
117	11, 13	mulcld 7978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
118	47	nncnd 8933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
119	47	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) # 0)
120	117, 118, 119	divcanap2d 8749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
121	53	oveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
122	55	nncnd 8933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
123	49	nncnd 8933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℂ)
124	55	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) # 0)
125	49	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) # 0)
126	11, 122, 13, 123, 124, 125	divmuldivapd 8789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
127	121, 126	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
128	127	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
129	120, 128	eqtr3d 2212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
130	116, 129	breq12d 4017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))))
131	84, 88	zmulcld 9381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ)
132	47	nnne0d 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
133		dvdscmulr 11827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
134	97, 131, 48, 132, 133	syl112anc 1242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
135	130, 134	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
136	111, 115, 135	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
137	96, 136	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
138	91, 137	mtod 663	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
139	44	nn0red 9230	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
140	94	nn0red 9230	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
141	139, 140	eqleltd 8074	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
142	73, 138, 141	mpbir2and 944	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ↑cexp 10519   ∥ cdvds 11794  ℙcprime 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108

This theorem is referenced by:  pceulem  12294  pcmul  12301