ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocexprlemru GIF version

Theorem suplocexprlemru 7640
Description: Lemma for suplocexpr 7646. The upper cut of the putative supremum is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocexpr.m (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
suplocexpr.ub (𝜑 → ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥)
suplocexpr.loc (𝜑 → ∀𝑥P𝑦P (𝑥<P 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥<P 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧<P 𝑦)))
suplocexpr.b 𝐵 = ⟨ (1st𝐴), {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
suplocexprlemru (𝜑 → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑞,𝑤   𝜑,𝑞,𝑟,𝑤   𝜑,𝑥,𝑦   𝑢,𝑟,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑢)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem suplocexprlemru
StepHypRef Expression
1 suplocexpr.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 suplocexpr.ub . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥)
3 suplocexpr.loc . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥P𝑦P (𝑥<P 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥<P 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧<P 𝑦)))
41, 2, 3suplocexprlemss 7636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴P)
5 suplocexpr.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ⟨ (1st𝐴), {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}⟩
65suplocexprlem2b 7635 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (2nd𝐵) = {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
74, 6syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2nd𝐵) = {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
87eleq2d 2227 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
98adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
109biimpa 294 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
11 breq2 3970 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑟 → (𝑤 <Q 𝑢𝑤 <Q 𝑟))
1211rexbidv 2458 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢 ↔ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟))
1312elrab 2868 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢} ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟))
1410, 13sylib 121 . . . . . 6 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → (𝑟Q ∧ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟))
1514simprd 113 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟)
16 ltbtwnnqq 7336 . . . . . . . 8 (𝑤 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
1716biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑤 <Q 𝑟 → ∃𝑞Q (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
1817ad2antll 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) → ∃𝑞Q (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
19 simprr 522 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑞 <Q 𝑟)
20 breq2 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑞 → (𝑤 <Q 𝑢𝑤 <Q 𝑞))
2120rexbidv 2458 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑞 → (∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢 ↔ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞))
22 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑞Q)
23 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) → 𝑤 (2nd𝐴))
2423ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑤 (2nd𝐴))
25 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑤 <Q 𝑞)
2624, 25jca 304 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑞))
27 rspe 2506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞)
2921, 22, 28elrabd 2870 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
307eleq2d 2227 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
3130ad5antr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
3229, 31mpbird 166 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
3319, 32jca 304 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟)) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
3433ex 114 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) ∧ 𝑞Q) → ((𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
3534reximdva 2559 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) → (∃𝑞Q (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
3618, 35mpd 13 . . . . 5 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) ∧ (𝑤 (2nd𝐴) ∧ 𝑤 <Q 𝑟)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
3715, 36rexlimddv 2579 . . . 4 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
3837ex 114 . . 3 ((𝜑𝑟Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
39 simpllr 524 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑟Q)
40 simprr 522 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
4130ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
4240, 41mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
4321elrab 2868 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢} ↔ (𝑞Q ∧ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞))
4442, 43sylib 121 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → (𝑞Q ∧ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞))
4544simprd 113 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞)
46 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑤 <Q 𝑞)
47 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑞 <Q 𝑟)
4847ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑞 <Q 𝑟)
4946, 48jca 304 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → (𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
50 ltrelnq 7286 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
5150brel 4639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 <Q 𝑞 → (𝑤Q𝑞Q))
5251simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 <Q 𝑞𝑤Q)
5352adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑤Q)
54 simp-4r 532 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑞Q)
5539ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑟Q)
56 ltsonq 7319 . . . . . . . . . . . 12 <Q Or Q
57 sotr 4279 . . . . . . . . . . . 12 (( <Q Or Q ∧ (𝑤Q𝑞Q𝑟Q)) → ((𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝑤 <Q 𝑟))
5856, 57mpan 421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤Q𝑞Q𝑟Q) → ((𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝑤 <Q 𝑟))
5953, 54, 55, 58syl3anc 1220 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → ((𝑤 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝑤 <Q 𝑟))
6049, 59mpd 13 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) ∧ 𝑤 <Q 𝑞) → 𝑤 <Q 𝑟)
6160ex 114 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑤 (2nd𝐴)) → (𝑤 <Q 𝑞𝑤 <Q 𝑟))
6261reximdva 2559 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → (∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑞 → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟))
6345, 62mpd 13 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑟)
6412, 39, 63elrabd 2870 . . . . 5 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢})
658ad3antrrr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ 𝑟 ∈ {𝑢Q ∣ ∃𝑤 (2nd𝐴)𝑤 <Q 𝑢}))
6664, 65mpbird 166 . . . 4 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵))
6766rexlimdva2 2577 . . 3 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵)))
6838, 67impbid 128 . 2 ((𝜑𝑟Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
6968ralrimiva 2530 1 (𝜑 → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 963   = wceq 1335  wex 1472  wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  {crab 2439  wss 3102  cop 3563   cuni 3773   cint 3808   class class class wbr 3966   Or wor 4256  cima 4590  cfv 5171  1st c1st 6087  2nd c2nd 6088  Qcnq 7201   <Q cltq 7206  Pcnp 7212  <P cltp 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-eprel 4250  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-er 6481  df-ec 6483  df-qs 6487  df-ni 7225  df-pli 7226  df-mi 7227  df-lti 7228  df-plpq 7265  df-mpq 7266  df-enq 7268  df-nqqs 7269  df-plqqs 7270  df-mqqs 7271  df-1nqqs 7272  df-rq 7273  df-ltnqqs 7274  df-inp 7387  df-iltp 7391
This theorem is referenced by:  suplocexprlemex  7643
  Copyright terms: Public domain W3C validator