ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcimolemlt GIF version

Theorem limcimolemlt 12589
Description: Lemma for limcimo 12590. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc (𝜑𝐵𝐶)
limcimo.bs (𝜑𝐵𝑆)
limcimo.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
limcimo.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limcimo.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
limcimo.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.z (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
limcimo.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
limcimo.w (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
Assertion
Ref Expression
limcimolemlt (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑧,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞   𝑧,𝐷   𝑤,𝐹   𝑧,𝐹   𝑤,𝐺   𝑤,𝑋   𝑧,𝑋   𝑤,𝑌   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑞)   𝐶(𝑧,𝑤)   𝐷(𝑤,𝑞)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑧,𝑞)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem limcimolemlt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 12520 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 ax-resscn 7637 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3 sseq1 3086 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
42, 3mpbiri 167 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
54adantl 273 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℝ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 eqimss 3117 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
76adantl 273 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8 limcimo.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 3516 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
115, 7, 10mpjaodan 770 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 xmetres2 12368 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
131, 11, 12sylancr 408 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
14 limcimo.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
15 eqid 2115 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
16 limcflfcntop.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17 eqid 2115 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))
1815, 16, 17metrest 12495 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
191, 11, 18sylancr 408 . . . 4 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
2014, 19eleqtrd 2193 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
21 limcimo.bc . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
22 limcimo.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
23 limcimo.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
24 rpmincl 10901 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ+𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2anc 406 . . 3 (𝜑 → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2617mopni3 12473 . . 3 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ 𝐵𝐶) ∧ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
2713, 20, 21, 25, 26syl31anc 1202 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
28 limcimo.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
29 limcrcl 12583 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3130simp1d 976 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3230simp2d 977 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
33 limcimo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3431, 32, 33ellimc3ap 12586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎))))
3528, 34mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎)))
3635simpld 111 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3736adantr 272 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 limcimo.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3931, 32, 33ellimc3ap 12586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎))))
4038, 39mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎)))
4140simpld 111 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4241adantr 272 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑌 ∈ ℂ)
43 limcflf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4443adantr 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
45 breq1 3898 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑞 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
46 simprrr 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶)
47 limcimo.bs . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑆)
4847adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵𝑆)
4947ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
50 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
5149, 50eleqtrd 2193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
52 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5352rphalfcld 9395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5453adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5554rpred 9382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
5651, 55readdcld 7719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5756, 50eleqtrrd 2194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
5833ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5953adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6158, 60addcld 7709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
62 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
6361, 62eleqtrrd 2194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6410adantr 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
6557, 63, 64mpjaodan 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6648, 65ovresd 5865 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))))
6733adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℂ)
6853rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6967, 68addcld 7709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
70 eqid 2115 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
7170cnmetdval 12518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7267, 69, 71syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7367, 67, 68subsub4d 8027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))))
7467subidd 7984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵𝐵) = 0)
7574oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (0 − (𝑟 / 2)))
7673, 75eqtr3d 2149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (0 − (𝑟 / 2)))
7776fveq2d 5379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘(0 − (𝑟 / 2))))
78 0cnd 7683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ∈ ℂ)
7978, 68abssubd 10857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(0 − (𝑟 / 2))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8077, 79eqtrd 2147 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8168subid1d 7985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝑟 / 2) − 0) = (𝑟 / 2))
8281fveq2d 5379 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝑟 / 2) − 0)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
8353rpred 9382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
8453rpge0d 9386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
8583, 84absidd 10831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8680, 82, 853eqtrd 2151 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (𝑟 / 2))
8766, 72, 863eqtrd 2151 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
88 rphalflt 9372 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
8988ad2antrl 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
9087, 89eqbrtrd 3915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟)
9113adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
92 rpxr 9350 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9392ad2antrl 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
94 elbl2 12382 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝑆 ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9591, 93, 48, 65, 94syl22anc 1200 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9690, 95mpbird 166 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟))
9746, 96sseldd 3064 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐶)
9853rpap0d 9388 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) # 0)
9967, 67negsubdid 8011 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = (-𝐵 + 𝐵))
10074negeqd 7880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = -0)
101 neg0 7931 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
102100, 101syl6eq 2163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = 0)
10399, 102eqtr3d 2149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + 𝐵) = 0)
104103oveq1d 5743 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (0 + (𝑟 / 2)))
10567negcld 7983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -𝐵 ∈ ℂ)
106105, 67, 68addassd 7712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))))
10768addid2d 7835 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (0 + (𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
108104, 106, 1073eqtr3d 2155 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
10998, 108, 1033brtr4d 3925 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵))
110 apadd2 8289 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
11169, 67, 105, 110syl3anc 1199 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
112109, 111mpbird 166 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵)
11345, 97, 112elrabd 2811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵})
114 limcimo.ca . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
115114sseld 3062 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
116115adantr 272 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
117113, 116mpd 13 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴)
11844, 117ffvelrnd 5510 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) ∈ ℂ)
11937, 42subcld 7996 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑋𝑌) ∈ ℂ)
120119abscld 10845 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) ∈ ℝ)
12137, 118abssubd 10857 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) = (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)))
12269, 67subcld 7996 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) ∈ ℂ)
123122abscld 10845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) ∈ ℝ)
12452rpred 9382 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ)
12522rpred 9382 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
126125adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12767, 68pncan2d 7998 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) = (𝑟 / 2))
128127fveq2d 5379 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
129128, 85eqtrd 2147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (𝑟 / 2))
130129, 89eqbrtrd 3915 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝑟)
13123rpred 9382 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
132131adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐺 ∈ ℝ)
133 mincl 10894 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
134126, 132, 133syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
135 simprrl 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ))
136 min1inf 10895 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
137126, 132, 136syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
138124, 134, 126, 135, 137ltletrd 8104 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐷)
139123, 124, 126, 130, 138lttrd 7811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)
140 breq1 3898 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑧 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
141 fvoveq1 5751 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
142141breq1d 3905 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷))
143140, 142anbi12d 462 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)))
144143imbrov2fvoveq 5753 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
145 limcimo.z . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
146145adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
147144, 146, 117rspcdva 2765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
148112, 139, 147mp2and 427 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
149121, 148eqbrtrd 3915 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
150 min2inf 10896 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
151126, 132, 150syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
152124, 134, 132, 135, 151ltletrd 8104 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐺)
153123, 124, 132, 130, 152lttrd 7811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)
154 breq1 3898 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑤 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
155 fvoveq1 5751 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
156155breq1d 3905 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺))
157154, 156anbi12d 462 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)))
158157imbrov2fvoveq 5753 . . . . 5 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
159 limcimo.w . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
160159adantr 272 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
161158, 160, 117rspcdva 2765 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
162112, 153, 161mp2and 427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
16337, 42, 118, 120, 149, 162abs3lemd 10865 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
16427, 163rexlimddv 2528 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  {crab 2394  wss 3037  {cpr 3494   class class class wbr 3895   × cxp 4497  dom cdm 4499  cres 4501  ccom 4503  wf 5077  cfv 5081  (class class class)co 5728  infcinf 6822  cc 7545  cr 7546  0cc0 7547   + caddc 7550  *cxr 7723   < clt 7724  cle 7725  cmin 7856  -cneg 7857   # cap 8261   / cdiv 8345  2c2 8681  +crp 9343  abscabs 10661  t crest 11963  ∞Metcxmet 11992  ballcbl 11994  MetOpencmopn 11997   lim climc 12579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-pm 6499  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-rest 11965  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-met 12001  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-limced 12581
This theorem is referenced by:  limcimo  12590
  Copyright terms: Public domain W3C validator