ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcimolemlt GIF version

Theorem limcimolemlt 13800
Description: Lemma for limcimo 13801. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc (𝜑𝐵𝐶)
limcimo.bs (𝜑𝐵𝑆)
limcimo.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
limcimo.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limcimo.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
limcimo.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.z (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
limcimo.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
limcimo.w (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
Assertion
Ref Expression
limcimolemlt (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑧,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞   𝑧,𝐷   𝑤,𝐹   𝑧,𝐹   𝑤,𝐺   𝑤,𝑋   𝑧,𝑋   𝑤,𝑌   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑞)   𝐶(𝑧,𝑤)   𝐷(𝑤,𝑞)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑧,𝑞)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem limcimolemlt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 13698 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 ax-resscn 7894 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3 sseq1 3178 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
42, 3mpbiri 168 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
54adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℝ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 eqimss 3209 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
76adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8 limcimo.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 3614 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
115, 7, 10mpjaodan 798 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 xmetres2 13546 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
131, 11, 12sylancr 414 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
14 limcimo.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
15 eqid 2177 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
16 limcflfcntop.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17 eqid 2177 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))
1815, 16, 17metrest 13673 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
191, 11, 18sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
2014, 19eleqtrd 2256 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
21 limcimo.bc . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
22 limcimo.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
23 limcimo.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
24 rpmincl 11230 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ+𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2617mopni3 13651 . . 3 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ 𝐵𝐶) ∧ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
2713, 20, 21, 25, 26syl31anc 1241 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
28 limcimo.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
29 limcrcl 13794 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3130simp1d 1009 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3230simp2d 1010 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
33 limcimo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3431, 32, 33ellimc3ap 13797 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎))))
3528, 34mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎)))
3635simpld 112 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3736adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 limcimo.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3931, 32, 33ellimc3ap 13797 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎))))
4038, 39mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎)))
4140simpld 112 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4241adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑌 ∈ ℂ)
43 limcflf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4443adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
45 breq1 4003 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑞 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
46 simprrr 540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶)
47 limcimo.bs . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑆)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵𝑆)
4947ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
50 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
5149, 50eleqtrd 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
52 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5352rphalfcld 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5554rpred 9683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
5651, 55readdcld 7977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5756, 50eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
5833ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5953adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 9685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6158, 60addcld 7967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
6361, 62eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6410adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
6557, 63, 64mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6648, 65ovresd 6009 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))))
6733adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℂ)
6853rpcnd 9685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6967, 68addcld 7967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
70 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
7170cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7267, 69, 71syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7367, 67, 68subsub4d 8289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))))
7467subidd 8246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵𝐵) = 0)
7574oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (0 − (𝑟 / 2)))
7673, 75eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (0 − (𝑟 / 2)))
7776fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘(0 − (𝑟 / 2))))
78 0cnd 7941 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ∈ ℂ)
7978, 68abssubd 11186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(0 − (𝑟 / 2))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8077, 79eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8168subid1d 8247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝑟 / 2) − 0) = (𝑟 / 2))
8281fveq2d 5515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝑟 / 2) − 0)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
8353rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
8453rpge0d 9687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
8583, 84absidd 11160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8680, 82, 853eqtrd 2214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (𝑟 / 2))
8766, 72, 863eqtrd 2214 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
88 rphalflt 9670 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
8988ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
9087, 89eqbrtrd 4022 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟)
9113adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
92 rpxr 9648 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9392ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
94 elbl2 13560 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝑆 ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9591, 93, 48, 65, 94syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9690, 95mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟))
9746, 96sseldd 3156 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐶)
9853rpap0d 9689 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) # 0)
9967, 67negsubdid 8273 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = (-𝐵 + 𝐵))
10074negeqd 8142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = -0)
101 neg0 8193 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
102100, 101eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = 0)
10399, 102eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + 𝐵) = 0)
104103oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (0 + (𝑟 / 2)))
10567negcld 8245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -𝐵 ∈ ℂ)
106105, 67, 68addassd 7970 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))))
10768addid2d 8097 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (0 + (𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
108104, 106, 1073eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
10998, 108, 1033brtr4d 4032 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵))
110 apadd2 8556 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
11169, 67, 105, 110syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
112109, 111mpbird 167 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵)
11345, 97, 112elrabd 2895 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵})
114 limcimo.ca . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
115114sseld 3154 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
116115adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
117113, 116mpd 13 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴)
11844, 117ffvelcdmd 5648 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) ∈ ℂ)
11937, 42subcld 8258 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑋𝑌) ∈ ℂ)
120119abscld 11174 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) ∈ ℝ)
12137, 118abssubd 11186 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) = (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)))
12269, 67subcld 8258 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) ∈ ℂ)
123122abscld 11174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) ∈ ℝ)
12452rpred 9683 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ)
12522rpred 9683 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
126125adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12767, 68pncan2d 8260 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) = (𝑟 / 2))
128127fveq2d 5515 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
129128, 85eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (𝑟 / 2))
130129, 89eqbrtrd 4022 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝑟)
13123rpred 9683 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
132131adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐺 ∈ ℝ)
133 mincl 11223 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
134126, 132, 133syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
135 simprrl 539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ))
136 min1inf 11224 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
137126, 132, 136syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
138124, 134, 126, 135, 137ltletrd 8370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐷)
139123, 124, 126, 130, 138lttrd 8073 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)
140 breq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑧 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
141 fvoveq1 5892 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
142141breq1d 4010 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷))
143140, 142anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)))
144143imbrov2fvoveq 5894 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
145 limcimo.z . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
146145adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
147144, 146, 117rspcdva 2846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
148112, 139, 147mp2and 433 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
149121, 148eqbrtrd 4022 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
150 min2inf 11225 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
151126, 132, 150syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
152124, 134, 132, 135, 151ltletrd 8370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐺)
153123, 124, 132, 130, 152lttrd 8073 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)
154 breq1 4003 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑤 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
155 fvoveq1 5892 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
156155breq1d 4010 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺))
157154, 156anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)))
158157imbrov2fvoveq 5894 . . . . 5 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
159 limcimo.w . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
160159adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
161158, 160, 117rspcdva 2846 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
162112, 153, 161mp2and 433 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
16337, 42, 118, 120, 149, 162abs3lemd 11194 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
16427, 163rexlimddv 2599 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129  {cpr 3592   class class class wbr 4000   × cxp 4621  dom cdm 4623  cres 4625  ccom 4627  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  infcinf 6976  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  +crp 9640  abscabs 10990  t crest 12636  ∞Metcxmet 13147  ballcbl 13149  MetOpencmopn 13152   lim climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-limced 13792
This theorem is referenced by:  limcimo  13801
  Copyright terms: Public domain W3C validator