ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcimolemlt GIF version
Theorem limcimolemlt 14136
Description: Lemma for limcimo 14137. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcflf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcimo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
limcimo.bc (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐢)
limcimo.bs (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
limcimo.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑆))
limcimo.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
limcimo.ca (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} βŠ† 𝐴)
limcflfcntop.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
limcimo.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
limcimo.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
limcimo.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
limcimo.z (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
limcimo.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ+)
limcimo.w (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
Assertion
Ref Expression
limcimolemlt (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) < (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑧,𝐴   𝐡,π‘ž   𝑀,𝐡   𝑧,𝐡   𝐢,π‘ž   𝑧,𝐷   𝑀,𝐹   𝑧,𝐹   𝑀,𝐺   𝑀,𝑋   𝑧,𝑋   𝑀,π‘Œ   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀,π‘ž)   𝐴(π‘ž)   𝐢(𝑧,𝑀)   𝐷(𝑀,π‘ž)   𝑆(𝑧,𝑀,π‘ž)   𝐹(π‘ž)   𝐺(𝑧,π‘ž)   𝐾(𝑧,𝑀,π‘ž)   𝑋(π‘ž)   π‘Œ(π‘ž)
Proof of Theorem limcimolemlt
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 14034 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2 ax-resscn 7903 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
3 sseq1 3179 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ↔ ℝ βŠ† β„‚))
42, 3mpbiri 168 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
54adantl 277 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 eqimss 3210 . . . . . 6 (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
76adantl 277 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 limcimo.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
9 elpri 3616 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
108, 9syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
115, 7, 10mpjaodan 798 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
12 xmetres2 13882 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
131, 11, 12sylancr 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
14 limcimo.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑆))
15 eqid 2177 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
16 limcflfcntop.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
17 eqid 2177 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))
1815, 16, 17metrest 14009 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
191, 11, 18sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
2014, 19eleqtrd 2256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
21 limcimo.bc . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐢)
22 limcimo.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
23 limcimo.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ+)
24 rpmincl 11246 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2617mopni3 13987 . . 3 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐢 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) ∧ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))
2713, 20, 21, 25, 26syl31anc 1241 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))
28 limcimo.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
29 limcrcl 14130 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3130simp1d 1009 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3230simp2d 1010 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
33 limcimo.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3431, 32, 33ellimc3ap 14133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))))
3528, 34mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)))
3635simpld 112 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3736adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
38 limcimo.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3931, 32, 33ellimc3ap 14133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘Œ)) < π‘Ž))))
4038, 39mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘Œ)) < π‘Ž)))
4140simpld 112 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
4241adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
43 limcflf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4443adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
45 breq1 4007 . . . . . 6 (π‘ž = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (π‘ž # 𝐡 ↔ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡))
46 simprrr 540 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢)
47 limcimo.bs . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4947ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
50 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑆 = ℝ)
5149, 50eleqtrd 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
52 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
5352rphalfcld 9709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
5554rpred 9696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
5651, 55readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ ℝ)
5756, 50eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
5833ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5953adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 9698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ β„‚)
6158, 60addcld 7977 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 = β„‚)
6361, 62eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
6410adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
6557, 63, 64mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
6648, 65ovresd 6015 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (𝐡(abs ∘ βˆ’ )(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))))
6733adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6853rpcnd 9698 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ β„‚)
6967, 68addcld 7977 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)
70 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
7170cnmetdval 14032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)))))
7267, 69, 71syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)))))
7367, 67, 68subsub4d 8299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐡) βˆ’ (π‘Ÿ / 2)) = (𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))))
7467subidd 8256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
7574oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐡) βˆ’ (π‘Ÿ / 2)) = (0 βˆ’ (π‘Ÿ / 2)))
7673, 75eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (0 βˆ’ (π‘Ÿ / 2)))
7776fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)))) = (absβ€˜(0 βˆ’ (π‘Ÿ / 2))))
78 0cnd 7950 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 0 ∈ β„‚)
7978, 68abssubd 11202 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ (π‘Ÿ / 2))) = (absβ€˜((π‘Ÿ / 2) βˆ’ 0)))
8077, 79eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)))) = (absβ€˜((π‘Ÿ / 2) βˆ’ 0)))
8168subid1d 8257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((π‘Ÿ / 2) βˆ’ 0) = (π‘Ÿ / 2))
8281fveq2d 5520 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((π‘Ÿ / 2) βˆ’ 0)) = (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)))
8353rpred 9696 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
8453rpge0d 9700 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 0 ≀ (π‘Ÿ / 2))
8583, 84absidd 11176 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)) = (π‘Ÿ / 2))
8680, 82, 853eqtrd 2214 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)))) = (π‘Ÿ / 2))
8766, 72, 863eqtrd 2214 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (π‘Ÿ / 2))
88 rphalflt 9683 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
8988ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
9087, 89eqbrtrd 4026 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) < π‘Ÿ)
9113adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
92 rpxr 9661 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
9392ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
94 elbl2 13896 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) ↔ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) < π‘Ÿ))
9591, 93, 48, 65, 94syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) ↔ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) < π‘Ÿ))
9690, 95mpbird 167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ))
9746, 96sseldd 3157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐢)
9853rpap0d 9702 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (π‘Ÿ / 2) # 0)
9967, 67negsubdid 8283 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ -(𝐡 βˆ’ 𝐡) = (-𝐡 + 𝐡))
10074negeqd 8152 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ -(𝐡 βˆ’ 𝐡) = -0)
101 neg0 8203 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
102100, 101eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ -(𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
10399, 102eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (-𝐡 + 𝐡) = 0)
104103oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((-𝐡 + 𝐡) + (π‘Ÿ / 2)) = (0 + (π‘Ÿ / 2)))
10567negcld 8255 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ -𝐡 ∈ β„‚)
106105, 67, 68addassd 7980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((-𝐡 + 𝐡) + (π‘Ÿ / 2)) = (-𝐡 + (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))))
10768addid2d 8107 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (0 + (π‘Ÿ / 2)) = (π‘Ÿ / 2))
108104, 106, 1073eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (-𝐡 + (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) = (π‘Ÿ / 2))
10998, 108, 1033brtr4d 4036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (-𝐡 + (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) # (-𝐡 + 𝐡))
110 apadd2 8566 . . . . . . . 8 (((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ -𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ↔ (-𝐡 + (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) # (-𝐡 + 𝐡)))
11169, 67, 105, 110syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ↔ (-𝐡 + (𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) # (-𝐡 + 𝐡)))
112109, 111mpbird 167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡)
11345, 97, 112elrabd 2896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡})
114 limcimo.ca . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} βŠ† 𝐴)
115114sseld 3155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐴))
116115adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐴))
117113, 116mpd 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐴)
11844, 117ffvelcdmd 5653 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) ∈ β„‚)
11937, 42subcld 8268 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ β„‚)
120119abscld 11190 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ∈ ℝ)
12137, 118abssubd 11202 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ 𝑋)))
12269, 67subcld 8268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
123122abscld 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
12452rpred 9696 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
12522rpred 9696 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
126125adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
12767, 68pncan2d 8270 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡) = (π‘Ÿ / 2))
128127fveq2d 5520 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)))
129128, 85eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) = (π‘Ÿ / 2))
130129, 89eqbrtrd 4026 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ÿ)
13123rpred 9696 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
132131adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
133 mincl 11239 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
134126, 132, 133syl2anc 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
135 simprrl 539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ))
136 min1inf 11240 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≀ 𝐷)
137126, 132, 136syl2anc 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≀ 𝐷)
138124, 134, 126, 135, 137ltletrd 8380 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ < 𝐷)
139123, 124, 126, 130, 138lttrd 8083 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐷)
140 breq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑧 # 𝐡 ↔ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡))
141 fvoveq1 5898 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)))
142141breq1d 4014 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷 ↔ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐷))
143140, 142anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) ↔ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐷)))
144143imbrov2fvoveq 5900 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)) ↔ (((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2))))
145 limcimo.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
146145adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
147144, 146, 117rspcdva 2847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
148112, 139, 147mp2and 433 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ 𝑋)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2))
149121, 148eqbrtrd 4026 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))))) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2))
150 min2inf 11241 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≀ 𝐺)
151126, 132, 150syl2anc 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≀ 𝐺)
152124, 134, 132, 135, 151ltletrd 8380 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ π‘Ÿ < 𝐺)
153123, 124, 132, 130, 152lttrd 8083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐺)
154 breq1 4007 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (𝑀 # 𝐡 ↔ (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡))
155 fvoveq1 5898 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)))
156155breq1d 4014 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺 ↔ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐺))
157154, 156anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑀 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) ↔ ((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐺)))
158157imbrov2fvoveq 5900 . . . . 5 (𝑀 = (𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) β†’ (((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)) ↔ (((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2))))
159 limcimo.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
160159adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
161158, 160, 117rspcdva 2847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) # 𝐡 ∧ (absβ€˜((𝐡 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2)))
162112, 153, 161mp2and 433 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐡 + (π‘Ÿ / 2))) βˆ’ π‘Œ)) < ((absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) / 2))
16337, 42, 118, 120, 149, 162abs3lemd 11210 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘Ÿ < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐢))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) < (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
16427, 163rexlimddv 2599 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) < (absβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {crab 2459   βŠ† wss 3130  {cpr 3594   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  dom cdm 4627   β†Ύ cres 4629   ∘ ccom 4631  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  infcinf 6982  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993   βˆ’ cmin 8128  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  β„+crp 9653  abscabs 11006   β†Ύt crest 12688  βˆžMetcxmet 13443  ballcbl 13445  MetOpencmopn 13448   limβ„‚ climc 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-limced 14128
This theorem is referenced by:  limcimo  14137
  Copyright terms: Public domain W3C validator