ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcimolemlt GIF version

Theorem limcimolemlt 14618
Description: Lemma for limcimo 14619. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc (𝜑𝐵𝐶)
limcimo.bs (𝜑𝐵𝑆)
limcimo.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
limcimo.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limcimo.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
limcimo.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limcimo.z (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
limcimo.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
limcimo.w (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
Assertion
Ref Expression
limcimolemlt (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑧,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞   𝑧,𝐷   𝑤,𝐹   𝑧,𝐹   𝑤,𝐺   𝑤,𝑋   𝑧,𝑋   𝑤,𝑌   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑞)   𝐶(𝑧,𝑤)   𝐷(𝑤,𝑞)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑧,𝑞)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑞)   𝑋(𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem limcimolemlt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 14516 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 ax-resscn 7938 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3 sseq1 3193 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
42, 3mpbiri 168 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
54adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℝ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 eqimss 3224 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
76adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8 limcimo.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 3633 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
115, 7, 10mpjaodan 799 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 xmetres2 14364 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
131, 11, 12sylancr 414 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
14 limcimo.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐾t 𝑆))
15 eqid 2189 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
16 limcflfcntop.k . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17 eqid 2189 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))
1815, 16, 17metrest 14491 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
191, 11, 18sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
2014, 19eleqtrd 2268 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
21 limcimo.bc . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
22 limcimo.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
23 limcimo.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
24 rpmincl 11287 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ+𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
2617mopni3 14469 . . 3 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐶 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ 𝐵𝐶) ∧ inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
2713, 20, 21, 25, 26syl31anc 1252 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))
28 limcimo.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
29 limcrcl 14612 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3130simp1d 1011 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3230simp2d 1012 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
33 limcimo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3431, 32, 33ellimc3ap 14615 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎))))
3528, 34mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑋)) < 𝑎)))
3635simpld 112 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3736adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑋 ∈ ℂ)
38 limcimo.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3931, 32, 33ellimc3ap 14615 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎))))
4038, 39mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ dom 𝐹((𝑐 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑐) − 𝑌)) < 𝑎)))
4140simpld 112 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4241adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑌 ∈ ℂ)
43 limcflf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4443adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
45 breq1 4024 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑞 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
46 simprrr 540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶)
47 limcimo.bs . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑆)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵𝑆)
4947ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
50 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
5149, 50eleqtrd 2268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
52 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5352rphalfcld 9745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5554rpred 9732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
5651, 55readdcld 8022 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5756, 50eleqtrrd 2269 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
5833ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5953adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 9734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6158, 60addcld 8012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
6361, 62eleqtrrd 2269 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6410adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
6557, 63, 64mpjaodan 799 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
6648, 65ovresd 6041 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))))
6733adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℂ)
6853rpcnd 9734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
6967, 68addcld 8012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
70 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
7170cnmetdval 14514 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7267, 69, 71syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵(abs ∘ − )(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))))
7367, 67, 68subsub4d 8334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))))
7467subidd 8291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵𝐵) = 0)
7574oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵𝐵) − (𝑟 / 2)) = (0 − (𝑟 / 2)))
7673, 75eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (0 − (𝑟 / 2)))
7776fveq2d 5541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘(0 − (𝑟 / 2))))
78 0cnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ∈ ℂ)
7978, 68abssubd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(0 − (𝑟 / 2))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8077, 79eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (abs‘((𝑟 / 2) − 0)))
8168subid1d 8292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝑟 / 2) − 0) = (𝑟 / 2))
8281fveq2d 5541 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝑟 / 2) − 0)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
8353rpred 9732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
8453rpge0d 9736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
8583, 84absidd 11217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8680, 82, 853eqtrd 2226 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝐵 − (𝐵 + (𝑟 / 2)))) = (𝑟 / 2))
8766, 72, 863eqtrd 2226 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
88 rphalflt 9719 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
8988ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
9087, 89eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟)
9113adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
92 rpxr 9697 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9392ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
94 elbl2 14378 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝑆 ∧ (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9591, 93, 48, 65, 94syl22anc 1250 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ↔ (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))(𝐵 + (𝑟 / 2))) < 𝑟))
9690, 95mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟))
9746, 96sseldd 3171 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐶)
9853rpap0d 9738 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑟 / 2) # 0)
9967, 67negsubdid 8318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = (-𝐵 + 𝐵))
10074negeqd 8187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = -0)
101 neg0 8238 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
102100, 101eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -(𝐵𝐵) = 0)
10399, 102eqtr3d 2224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + 𝐵) = 0)
104103oveq1d 5915 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (0 + (𝑟 / 2)))
10567negcld 8290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → -𝐵 ∈ ℂ)
106105, 67, 68addassd 8015 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((-𝐵 + 𝐵) + (𝑟 / 2)) = (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))))
10768addlidd 8142 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (0 + (𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
108104, 106, 1073eqtr3d 2230 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) = (𝑟 / 2))
10998, 108, 1033brtr4d 4053 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵))
110 apadd2 8601 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
11169, 67, 105, 110syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ↔ (-𝐵 + (𝐵 + (𝑟 / 2))) # (-𝐵 + 𝐵)))
112109, 111mpbird 167 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵)
11345, 97, 112elrabd 2910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵})
114 limcimo.ca . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
115114sseld 3169 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
116115adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ {𝑞𝐶𝑞 # 𝐵} → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴))
117113, 116mpd 13 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐵 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝐴)
11844, 117ffvelcdmd 5676 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) ∈ ℂ)
11937, 42subcld 8303 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (𝑋𝑌) ∈ ℂ)
120119abscld 11231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) ∈ ℝ)
12137, 118abssubd 11243 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) = (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)))
12269, 67subcld 8303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) ∈ ℂ)
123122abscld 11231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) ∈ ℝ)
12452rpred 9732 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 ∈ ℝ)
12522rpred 9732 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
126125adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12767, 68pncan2d 8305 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵) = (𝑟 / 2))
128127fveq2d 5541 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
129128, 85eqtrd 2222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) = (𝑟 / 2))
130129, 89eqbrtrd 4043 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝑟)
13123rpred 9732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
132131adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝐺 ∈ ℝ)
133 mincl 11280 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
134126, 132, 133syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
135 simprrl 539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ))
136 min1inf 11281 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
137126, 132, 136syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
138124, 134, 126, 135, 137ltletrd 8415 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐷)
139123, 124, 126, 130, 138lttrd 8118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)
140 breq1 4024 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑧 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
141 fvoveq1 5923 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
142141breq1d 4031 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷))
143140, 142anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷)))
144143imbrov2fvoveq 5925 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
145 limcimo.z . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
146145adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
147144, 146, 117rspcdva 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
148112, 139, 147mp2and 433 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑋)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
149121, 148eqbrtrd 4043 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋 − (𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))))) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
150 min2inf 11282 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
151126, 132, 150syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
152124, 134, 132, 135, 151ltletrd 8415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → 𝑟 < 𝐺)
153123, 124, 132, 130, 152lttrd 8118 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)
154 breq1 4024 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (𝑤 # 𝐵 ↔ (𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵))
155 fvoveq1 5923 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)))
156155breq1d 4031 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺))
157154, 156anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) ↔ ((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺)))
158157imbrov2fvoveq 5925 . . . . 5 (𝑤 = (𝐵 + (𝑟 / 2)) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)) ↔ (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))))
159 limcimo.w . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
160159adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
161158, 160, 117rspcdva 2861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (((𝐵 + (𝑟 / 2)) # 𝐵 ∧ (abs‘((𝐵 + (𝑟 / 2)) − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2)))
162112, 153, 161mp2and 433 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘((𝐹‘(𝐵 + (𝑟 / 2))) − 𝑌)) < ((abs‘(𝑋𝑌)) / 2))
16337, 42, 118, 120, 149, 162abs3lemd 11251 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑟 < inf({𝐷, 𝐺}, ℝ, < ) ∧ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑟) ⊆ 𝐶))) → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
16427, 163rexlimddv 2612 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑌)) < (abs‘(𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  {crab 2472  wss 3144  {cpr 3611   class class class wbr 4021   × cxp 4645  dom cdm 4647  cres 4649  ccom 4651  wf 5234  cfv 5238  (class class class)co 5900  infcinf 7016  cc 7844  cr 7845  0cc0 7846   + caddc 7849  *cxr 8026   < clt 8027  cle 8028  cmin 8163  -cneg 8164   # cap 8573   / cdiv 8664  2c2 9005  +crp 9689  abscabs 11047  t crest 12755  ∞Metcxmet 13874  ballcbl 13876  MetOpencmopn 13879   lim climc 14608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-map 6680  df-pm 6681  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-xneg 9808  df-xadd 9809  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-rest 12757  df-topgen 12776  df-psmet 13881  df-xmet 13882  df-met 13883  df-bl 13884  df-mopn 13885  df-top 13983  df-topon 13996  df-bases 14028  df-limced 14610
This theorem is referenced by:  limcimo  14619
  Copyright terms: Public domain W3C validator