Theorem znnen 11900

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3342	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2		nnssz 9064	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		dfss1 3275	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5		dfin5 3073	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
6	4, 5	eqtr3i 2160	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
7	6	uneq1i 3221	. . 3 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8		rabid2 2605	. . . 4 ⊢ (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9		elznn 9063	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
10	9	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
11	8, 10	mprgbir 2488	. . 3 ⊢ ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2169	. 2 ⊢ ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13		nnex 8719	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
14	13	enref 6652	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ℕ
15		zex 9056	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
16	15	rabex 4067	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17		nn0ex 8976	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		negeq 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
19	18	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
20	19	elrab 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
21	20	simprbi 273	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22		negeq 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
23	22	eleq1d 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24		nn0negz 9081	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25		nn0cn 8980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 8057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
27	26	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ ℕ0))
28	27	ibir 176	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	elrabd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30		elrabi 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	25	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		negcon2 8008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
35	32, 33, 34	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6658	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37		nn0ennn 10199	. . . 4 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
38	36, 37	entri 6673	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39		inrab2 3344	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40		incom 3263	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41		rabeq0 3387	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42		0red 7760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
44	43	nnred 8726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45		nngt0 8738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
46	45	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47		nn0ge0 8995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
48	47	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
49	44	le0neg1d 8272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
50	48, 49	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
52	42	ltnrd 7868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
53	51, 52	pm2.65da 650	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
54	53, 4	eleq2s 2232	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
55	41, 54	mprgbir 2488	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2166	. . 3 ⊢ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57		unennn 11899	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1315	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
59	12, 58	eqbrtri 3944	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2418   ∪ cun 3064   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358   class class class wbr 3924   ≈ cen 6625  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613   < clt 7793   ≤ cle 7794  -cneg 7927  ℕcn 8713  ℕ₀cn0 8970  ℤcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-er 6422  df-en 6628  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  qnnen  11933