ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen GIF version

Theorem znnen 11756
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3313 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2 nnssz 8975 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
3 dfss1 3246 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
42, 3mpbi 144 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5 dfin5 3044 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
64, 5eqtr3i 2137 . . . 4 ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
76uneq1i 3192 . . 3 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8 rabid2 2581 . . . 4 (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9 elznn 8974 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
109simprbi 271 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
118, 10mprgbir 2464 . . 3 ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
121, 7, 113eqtr4ri 2146 . 2 ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13 nnex 8636 . . . 4 ℕ ∈ V
1413enref 6613 . . 3 ℕ ≈ ℕ
15 zex 8967 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1615rabex 4032 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17 nn0ex 8887 . . . . 5 0 ∈ V
18 negeq 7878 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1918eleq1d 2183 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
2019elrab 2809 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
2120simprbi 271 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22 negeq 7878 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
2322eleq1d 2183 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24 nn0negz 8992 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25 nn0cn 8891 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
2625negnegd 7987 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
2726eleq1d 2183 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0))
2827ibir 176 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
2923, 24, 28elrabd 2811 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30 elrabi 2806 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
3130adantr 272 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
3231zcnd 9078 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3325adantl 273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 negcon2 7938 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3532, 33, 34syl2anc 406 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3616, 17, 21, 29, 35en3i 6619 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37 nn0ennn 10099 . . . 4 0 ≈ ℕ
3836, 37entri 6634 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39 inrab2 3315 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40 incom 3234 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41 rabeq0 3358 . . . . 5 ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42 0red 7691 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
4443nnred 8643 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45 nngt0 8655 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
4645adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47 nn0ge0 8906 . . . . . . . . . 10 (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
4847adantl 273 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
4944le0neg1d 8198 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
5048, 49mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 8104 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
5242ltnrd 7798 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
5351, 52pm2.65da 633 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5453, 4eleq2s 2209 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5541, 54mprgbir 2464 . . . 4 {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
5639, 40, 553eqtr3i 2143 . . 3 (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57 unennn 11755 . . 3 ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
5814, 38, 56, 57mp3an 1298 . 2 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
5912, 58eqbrtri 3914 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  {crab 2394  cun 3035  cin 3036  wss 3037  c0 3329   class class class wbr 3895  cen 6586  cc 7545  cr 7546  0cc0 7547   < clt 7724  cle 7725  -cneg 7857  cn 8630  0cn0 8881  cz 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-er 6383  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-q 9314  df-rp 9344  df-fl 9936  df-mod 9989  df-dvds 11342
This theorem is referenced by:  qnnen  11789
  Copyright terms: Public domain W3C validator