Theorem znnen 13267

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3504	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2		nnssz 9640	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		dfss1 3435	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5		dfin5 3227	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
6	4, 5	eqtr3i 2261	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
7	6	uneq1i 3379	. . 3 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8		rabid2 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9		elznn 9639	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
10	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
11	8, 10	mprgbir 2608	. . 3 ⊢ ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2270	. 2 ⊢ ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13		nnex 9289	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
14	13	enref 7041	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ℕ
15		zex 9632	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
16	15	rabex 4275	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17		nn0ex 9548	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		negeq 8509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
19	18	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
20	19	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
21	20	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22		negeq 8509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
23	22	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24		nn0negz 9657	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25		nn0cn 9552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 8618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
27	26	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ ℕ0))
28	27	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	elrabd 2984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30		elrabi 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	25	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		negcon2 8569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
35	32, 33, 34	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 7047	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37		nn0ennn 10848	. . . 4 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
38	36, 37	entri 7063	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39		inrab2 3506	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40		incom 3421	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41		rabeq0 3552	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42		0red 8317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
44	43	nnred 9296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45		nngt0 9308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47		nn0ge0 9567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
49	44	le0neg1d 8835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
52	42	ltnrd 8427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
53	51, 52	pm2.65da 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
54	53, 4	eleq2s 2333	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
55	41, 54	mprgbir 2608	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57		unennn 13266	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1378	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
59	12, 58	eqbrtri 4146	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4125   ≈ cen 7010  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169   < clt 8350   ≤ cle 8351  -cneg 8488  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-er 6797  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  qnnen  13300