ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znnen GIF version

Theorem znnen 12448
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unrab 3421 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2 nnssz 9299 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
3 dfss1 3354 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
42, 3mpbi 145 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5 dfin5 3151 . . . . 5 (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
64, 5eqtr3i 2212 . . . 4 ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
76uneq1i 3300 . . 3 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8 rabid2 2667 . . . 4 (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9 elznn 9298 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
109simprbi 275 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
118, 10mprgbir 2548 . . 3 ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
121, 7, 113eqtr4ri 2221 . 2 ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13 nnex 8954 . . . 4 ℕ ∈ V
1413enref 6790 . . 3 ℕ ≈ ℕ
15 zex 9291 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1615rabex 4162 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17 nn0ex 9211 . . . . 5 0 ∈ V
18 negeq 8179 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
1918eleq1d 2258 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
2019elrab 2908 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
2120simprbi 275 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22 negeq 8179 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
2322eleq1d 2258 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24 nn0negz 9316 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25 nn0cn 9215 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
2625negnegd 8288 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
2726eleq1d 2258 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0))
2827ibir 177 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
2923, 24, 28elrabd 2910 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30 elrabi 2905 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
3130adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
3231zcnd 9405 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
3325adantl 277 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 negcon2 8239 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3616, 17, 21, 29, 35en3i 6796 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37 nn0ennn 10463 . . . 4 0 ≈ ℕ
3836, 37entri 6811 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39 inrab2 3423 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40 incom 3342 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41 rabeq0 3467 . . . . 5 ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42 0red 7987 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
4443nnred 8961 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45 nngt0 8973 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
4645adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47 nn0ge0 9230 . . . . . . . . . 10 (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
4847adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
4944le0neg1d 8503 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
5048, 49mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
5142, 44, 42, 46, 50ltletrd 8409 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
5242ltnrd 8098 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
5351, 52pm2.65da 662 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5453, 4eleq2s 2284 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
5541, 54mprgbir 2548 . . . 4 {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
5639, 40, 553eqtr3i 2218 . . 3 (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57 unennn 12447 . . 3 ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
5814, 38, 56, 57mp3an 1348 . 2 (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
5912, 58eqbrtri 4039 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  {crab 2472  cun 3142  cin 3143  wss 3144  c0 3437   class class class wbr 4018  cen 6763  cc 7838  cr 7839  0cc0 7840   < clt 8021  cle 8022  -cneg 8158  cn 8948  0cn0 9205  cz 9282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6558  df-en 6766  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683  df-fl 10300  df-mod 10353  df-dvds 11826
This theorem is referenced by:  qnnen  12481
  Copyright terms: Public domain W3C validator