Theorem znnen 12555

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3430	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2		nnssz 9334	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		dfss1 3363	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5		dfin5 3160	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
6	4, 5	eqtr3i 2216	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
7	6	uneq1i 3309	. . 3 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8		rabid2 2671	. . . 4 ⊢ (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9		elznn 9333	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
10	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
11	8, 10	mprgbir 2552	. . 3 ⊢ ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2225	. 2 ⊢ ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13		nnex 8988	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
14	13	enref 6819	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ℕ
15		zex 9326	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
16	15	rabex 4173	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17		nn0ex 9246	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		negeq 8212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
19	18	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
20	19	elrab 2916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
21	20	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22		negeq 8212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
23	22	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24		nn0negz 9351	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25		nn0cn 9250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 8321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
27	26	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ ℕ0))
28	27	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	elrabd 2918	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30		elrabi 2913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	25	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		negcon2 8272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6825	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37		nn0ennn 10504	. . . 4 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
38	36, 37	entri 6840	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39		inrab2 3432	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40		incom 3351	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41		rabeq0 3476	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42		0red 8020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
44	43	nnred 8995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45		nngt0 9007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47		nn0ge0 9265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
49	44	le0neg1d 8536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
52	42	ltnrd 8131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
53	51, 52	pm2.65da 662	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
54	53, 4	eleq2s 2288	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
55	41, 54	mprgbir 2552	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2222	. . 3 ⊢ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57		unennn 12554	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1348	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
59	12, 58	eqbrtri 4050	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ∪ cun 3151   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446   class class class wbr 4029   ≈ cen 6792  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054   ≤ cle 8055  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-er 6587  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  qnnen  12588