Theorem znnen 13082

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3480	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
2		nnssz 9540	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		dfss1 3413	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ ↔ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ)
4	2, 3	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = ℕ
5		dfin5 3208	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
6	4, 5	eqtr3i 2254	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ}
7	6	uneq1i 3359	. . 3 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑧 ∈ ℕ} ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
8		rabid2 2711	. . . 4 ⊢ (ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
9		elznn 9539	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
10	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
11	8, 10	mprgbir 2591	. . 3 ⊢ ℤ = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∈ ℕ ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)}
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2263	. 2 ⊢ ℤ = (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
13		nnex 9191	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
14	13	enref 6981	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ℕ
15		zex 9532	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
16	15	rabex 4239	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∈ V
17		nn0ex 9450	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		negeq 8414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
19	18	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ -𝑥 ∈ ℕ0))
20	19	elrab 2963	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0))
21	20	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → -𝑥 ∈ ℕ0)
22		negeq 8414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → -𝑧 = --𝑦)
23	22	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (-𝑧 ∈ ℕ0 ↔ --𝑦 ∈ ℕ0))
24		nn0negz 9557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
25		nn0cn 9454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 8523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 = 𝑦)
27	26	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (--𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ ℕ0))
28	27	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → --𝑦 ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	elrabd 2965	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
30		elrabi 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33	25	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		negcon2 8474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	16, 17, 21, 29, 35	en3i 6987	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ0
37		nn0ennn 10741	. . . 4 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
38	36, 37	entri 7003	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ
39		inrab2 3482	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}
40		incom 3401	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0})
41		rabeq0 3526	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
42		0red 8223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
43		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ)
44	43	nnred 9198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℝ)
45		nngt0 9210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 < 𝑧)
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑧)
47		nn0ge0 9469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑧 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑧)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝑧)
49	44	le0neg1d 8739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑧))
50	48, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 0)
51	42, 44, 42, 46, 50	ltletrd 8645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 0 < 0)
52	42	ltnrd 8333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ¬ 0 < 0)
53	51, 52	pm2.65da 667	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
54	53, 4	eleq2s 2326	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) → ¬ -𝑧 ∈ ℕ0)
55	41, 54	mprgbir 2591	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (ℤ ∩ ℕ) ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} = ∅
56	39, 40, 55	3eqtr3i 2260	. . 3 ⊢ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅
57		unennn 13081	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0} ≈ ℕ ∧ (ℕ ∩ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) = ∅) → (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ)
58	14, 38, 56, 57	mp3an 1374	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ ℕ0}) ≈ ℕ
59	12, 58	eqbrtri 4114	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   ∪ cun 3199   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496   class class class wbr 4093   ≈ cen 6950  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8256   ≤ cle 8257  -cneg 8393  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898  df-rp 9933  df-fl 10576  df-mod 10631  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  qnnen  13115