Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinc GIF version

Theorem ivthinc 12981
 Description: The intermediate value theorem, increasing case, for a strictly monotonic function. Theorem 5.5 of [Bauer], p. 494. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
ivthinc (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑐)

Proof of Theorem ivthinc
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4 ivth.4 . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
5 ivth.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
7 ivth.8 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8 ivth.9 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9 ivthinc.i . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
10 eqid 2157 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
11 eqid 2157 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ivthinclemex 12980 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟))
13 reurex 2670 . . 3 (∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟))
1412, 13syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟))
15 elioore 9798 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1716ltnrd 7971 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑐 < 𝑐)
18 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑐 → (𝑝 < 𝑐𝑐 < 𝑐))
19 simplrl 525 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹𝑐) < 𝑈) → ∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐)
20 fveq2 5465 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑐))
2120breq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑐 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑐) < 𝑈))
22 ioossicc 9845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2322sseli 3124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2524ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹𝑐) < 𝑈) → (𝐹𝑐) < 𝑈)
2721, 25, 26elrabd 2870 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈})
2818, 19, 27rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹𝑐) < 𝑈) → 𝑐 < 𝑐)
2917, 28mtand 655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹𝑐) < 𝑈)
30 breq2 3969 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑐 → (𝑐 < 𝑟𝑐 < 𝑐))
31 simplrr 526 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑐)) → ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)
3220breq2d 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑐 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑐)))
3324ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑐)) → 𝑈 < (𝐹𝑐))
3532, 33, 34elrabd 2870 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑐)) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)})
3630, 31, 35rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑐)) → 𝑐 < 𝑐)
3717, 36mtand 655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑐))
38 ioran 742 . . . . . . 7 (¬ ((𝐹𝑐) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝑐)) ↔ (¬ (𝐹𝑐) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹𝑐)))
3929, 37, 38sylanbrc 414 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ ((𝐹𝑐) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝑐)))
40 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
4140eleq1d 2226 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑐) ∈ ℝ))
427ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4342adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4441, 43, 24rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
453adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℝ)
46 reaplt 8446 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑐) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹𝑐) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝑐))))
4744, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹𝑐) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝑐))))
4847adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹𝑐) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝑐))))
4939, 48mtbird 663 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹𝑐) # 𝑈)
5044recnd 7889 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
5150adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
523recnd 7889 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
5352ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑈 ∈ ℂ)
54 apti 8480 . . . . . 6 (((𝐹𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹𝑐) # 𝑈))
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹𝑐) # 𝑈))
5649, 55mpbird 166 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹𝑐) = 𝑈)
5756ex 114 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟) → (𝐹𝑐) = 𝑈))
5857reximdva 2559 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
5914, 58mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  ∃!wreu 2437  {crab 2439   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714   < clt 7895   # cap 8439  (,)cioo 9774  [,]cicc 9777  –cn→ccncf 12917 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-pre-suploc 7836 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543  df-ioo 9778  df-icc 9781  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-cncf 12918 This theorem is referenced by:  ivthdec  12982  reeff1olem  13052
 Copyright terms: Public domain W3C validator