Theorem ivthinc 15881

Description: The intermediate value theorem, increasing case, for a strictly monotonic function. Theorem 5.5 of [Bauer], p. 494. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ivthinc	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑐)

Proof of Theorem ivthinc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5		ivth.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
7		ivth.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
9		ivthinc.i	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ivthinclemex 15880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
13		reurex 2771	. . 3 ⊢ (∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
15		elioore 10332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑐 ∈ ℝ)
17	16	ltnrd 8445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑐 < 𝑐)
18		breq1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑐 → (𝑝 < 𝑐 ↔ 𝑐 < 𝑐))
19		simplrl 541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → ∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐)
20		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
21	20	breq1d 4141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) < 𝑈))
22		ioossicc 10379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
27	21, 25, 26	elrabd 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈})
28	18, 19, 27	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 < 𝑐)
29	17, 28	mtand 675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
30		breq2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑐 → (𝑐 < 𝑟 ↔ 𝑐 < 𝑐))
31		simplrr 542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)
32	20	breq2d 4143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
33	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
35	32, 33, 34	elrabd 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)})
36	30, 31, 35	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 < 𝑐)
37	17, 36	mtand 675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
38		ioran 764	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
39	29, 37, 38	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
40		fveq2 5698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
41	40	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
42	7	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	41, 43, 24	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
45	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℝ)
46		reaplt 8925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
47	44, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
49	39, 48	mtbird 684	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈)
50	44	recnd 8361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
51	50	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
52	3	recnd 8361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
53	52	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑈 ∈ ℂ)
54		apti 8959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
55	51, 53, 54	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
56	49, 55	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈)
57	56	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
58	57	reximdva 2652	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
59	14, 58	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185   < clt 8367   # cap 8918  (,)cioo 10308  [,]cicc 10311  –cn→ccncf 15808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-ioo 10312  df-icc 10315  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-cncf 15809

This theorem is used by:  ivthdec  15882  reeff1olem  16009