Theorem ivthinc 14598

Description: The intermediate value theorem, increasing case, for a strictly monotonic function. Theorem 5.5 of [Bauer], p. 494. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ivthinc	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑐)

Proof of Theorem ivthinc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5		ivth.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
7		ivth.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
9		ivthinc.i	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
10		eqid 2189	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
11		eqid 2189	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ivthinclemex 14597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
13		reurex 2704	. . 3 ⊢ (∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
15		elioore 9944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑐 ∈ ℝ)
17	16	ltnrd 8100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑐 < 𝑐)
18		breq1 4021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑐 → (𝑝 < 𝑐 ↔ 𝑐 < 𝑐))
19		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → ∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐)
20		fveq2 5534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
21	20	breq1d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) < 𝑈))
22		ioossicc 9991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
27	21, 25, 26	elrabd 2910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈})
28	18, 19, 27	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 < 𝑐)
29	17, 28	mtand 666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
30		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑐 → (𝑐 < 𝑟 ↔ 𝑐 < 𝑐))
31		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)
32	20	breq2d 4030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
33	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
35	32, 33, 34	elrabd 2910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)})
36	30, 31, 35	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 < 𝑐)
37	17, 36	mtand 666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
38		ioran 753	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
39	29, 37, 38	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
40		fveq2 5534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
41	40	eleq1d 2258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
42	7	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	41, 43, 24	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
45	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℝ)
46		reaplt 8576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
47	44, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
49	39, 48	mtbird 674	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈)
50	44	recnd 8017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
51	50	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
52	3	recnd 8017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
53	52	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑈 ∈ ℂ)
54		apti 8610	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
56	49, 55	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈)
57	56	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
58	57	reximdva 2592	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
59	14, 58	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  ∃!wreu 2470  {crab 2472   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841   < clt 8023   # cap 8569  (,)cioo 9920  [,]cicc 9923  –cn→ccncf 14534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-ioo 9924  df-icc 9927  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-cncf 14535

This theorem is referenced by:  ivthdec  14599  reeff1olem  14669