Theorem ivthinc 15373

Description: The intermediate value theorem, increasing case, for a strictly monotonic function. Theorem 5.5 of [Bauer], p. 494. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ivthinc	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑐)

Proof of Theorem ivthinc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5		ivth.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
7		ivth.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
9		ivthinc.i	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
10		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
11		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ivthinclemex 15372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
13		reurex 2752	. . 3 ⊢ (∃!𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟))
15		elioore 10147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑐 ∈ ℝ)
17	16	ltnrd 8291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑐 < 𝑐)
18		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑐 → (𝑝 < 𝑐 ↔ 𝑐 < 𝑐))
19		simplrl 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → ∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐)
20		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
21	20	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) < 𝑈))
22		ioossicc 10194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
27	21, 25, 26	elrabd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈})
28	18, 19, 27	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ (𝐹‘𝑐) < 𝑈) → 𝑐 < 𝑐)
29	17, 28	mtand 671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈)
30		breq2 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑐 → (𝑐 < 𝑟 ↔ 𝑐 < 𝑐))
31		simplrr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)
32	20	breq2d 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
33	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
35	32, 33, 34	elrabd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)})
36	30, 31, 35	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) → 𝑐 < 𝑐)
37	17, 36	mtand 671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))
38		ioran 759	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
39	29, 37, 38	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐)))
40		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
41	40	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
42	7	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
44	41, 43, 24	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
45	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℝ)
46		reaplt 8768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
47	44, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) # 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑐) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑐))))
49	39, 48	mtbird 679	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈)
50	44	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
51	50	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
52	3	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
53	52	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → 𝑈 ∈ ℂ)
54		apti 8802	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) # 𝑈))
56	49, 55	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟)) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈)
57	56	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
58	57	reximdva 2634	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑝 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}𝑝 < 𝑐 ∧ ∀𝑟 ∈ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}𝑐 < 𝑟) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
59	14, 58	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ∃!wreu 2512  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031   < clt 8214   # cap 8761  (,)cioo 10123  [,]cicc 10126  –cn→ccncf 15300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-ioo 10127  df-icc 10130  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-cncf 15301

This theorem is referenced by:  ivthdec  15374  reeff1olem  15501