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Theorem uzwodc 12174

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
uzwodc	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Distinct variable groups: 𝑗,𝑀,𝑘 𝑥,𝑀,𝑘 𝑆,𝑗,𝑘 𝑥,𝑆

Proof of Theorem uzwodc Dummy variables 𝑠 𝑝 𝑡 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) → 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
2		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 − 1) = (𝑠 − 1))
3	2	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((𝑠 − 1) + 𝑀))
4	3	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
5	4	elrab 2916	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
6	1, 5	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
7	6	simprd 114	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) → ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
8		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ((𝑘 − 𝑀) + 1) → (𝑠 ≤ 𝑡 ↔ 𝑠 ≤ ((𝑘 − 𝑀) + 1)))
9		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡)
10		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = ((𝑘 − 𝑀) + 1) → (𝑝 − 1) = (((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1))
11	10	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ((𝑘 − 𝑀) + 1) → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀))
12	11	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((𝑘 − 𝑀) + 1) → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
13		simp1 999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
14	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
17		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
19		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20		ssel2 3174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
21		eluzel2 9597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑀 ∈ ℤ))
24	23	exlimdv 1830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑀 ∈ ℤ))
25	13, 19, 24	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	18, 26	zsubcld 9444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 − 𝑀) ∈ ℤ)
28		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
29	16, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ 𝑘)
30	18	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
31	26	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
32	30, 31	subge0d 8554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (𝑘 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
33	29, 32	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑘 − 𝑀))
34		elnn0z 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑘 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑘 − 𝑀)))
35	27, 33, 34	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
36		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 − 𝑀) ∈ ℕ₀ → ((𝑘 − 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 − 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
38	27	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 − 𝑀) ∈ ℂ)
39		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 8331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) = (𝑘 − 𝑀))
41	40	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = ((𝑘 − 𝑀) + 𝑀))
42	18	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℂ)
43	26	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	42, 43	npcand 8334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑘)
45	41, 44	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = 𝑘)
46	45, 15	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((((𝑘 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
47	12, 37, 46	elrabd 2918	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 − 𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
48	8, 9, 47	rspcdva 2869	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑠 ≤ ((𝑘 − 𝑀) + 1))
49		elrabi 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} → 𝑠 ∈ ℕ)
50	49	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ ℕ)
51	50	nnred 8995	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ ℝ)
52		1red 8034	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℝ)
53	30, 31	resubcld 8400	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 − 𝑀) ∈ ℝ)
54	51, 52, 53	lesubaddd 8561	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑠 − 1) ≤ (𝑘 − 𝑀) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑘 − 𝑀) + 1)))
55	48, 54	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑠 − 1) ≤ (𝑘 − 𝑀))
56	51, 52	resubcld 8400	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
57		leaddsub 8457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 − 1) ≤ (𝑘 − 𝑀)))
58	56, 31, 30, 57	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 − 1) ≤ (𝑘 − 𝑀)))
59	55, 58	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘)
60	59	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘)
61		breq1 4032	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((𝑠 − 1) + 𝑀) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘))
62	61	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑗 = ((𝑠 − 1) + 𝑀) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘))
63	62	rspcev 2864	. . 3 ⊢ ((((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
64	7, 60, 63	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
65		ssrab2 3264	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
66		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
67	20, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℤ)
68	67, 22	zsubcld 9444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ)
69		1zzd 9344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℤ)
70	68, 69	zaddcld 9443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ)
71		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = ((𝑥 − 𝑀) + 1) → (𝑝 − 1) = (((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1))
72	71	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = ((𝑥 − 𝑀) + 1) → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀))
73	72	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ((𝑥 − 𝑀) + 1) → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
74		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
75	20, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ 𝑥)
76	67	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
77	22	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
78	76, 77	subge0d 8554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
79	75, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑀))
80		elnn0z 9330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑀)))
81	68, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
82		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ₀ → ((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
84	68	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℂ)
85		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 8331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) = (𝑥 − 𝑀))
87	86	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = ((𝑥 − 𝑀) + 𝑀))
88	67	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
89	22	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
90	88, 89	npcand 8334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑥)
91	87, 90	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = 𝑥)
92		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
93	91, 92	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((((𝑥 − 𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
94	73, 83, 93	elrabd 2918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
95		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((𝑥 − 𝑀) + 1) → (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ ((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
96	95	spcegv 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ → (((𝑥 − 𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
97	70, 94, 96	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
98	97	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
99	98	exlimdv 1830	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
100	99	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
101	100	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
102		eleq1 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑟 − 1) + 𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
103	102	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑟 − 1) + 𝑀) → (DECID 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
104		simpl3 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆)
105	24	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
106	105	3adant3 1019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
107	106	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈ ℕ)
109	108	nnzd 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈ ℤ)
110		1zzd 9344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
111	109, 110	zsubcld 9444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (𝑟 − 1) ∈ ℤ)
112	111, 107	zaddcld 9443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ ℤ)
113		nnm1ge0 9403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑟 − 1))
114	113	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑟 − 1))
115	107	zred 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
116	111	zred 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (𝑟 − 1) ∈ ℝ)
117	115, 116	addge02d 8553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝑟 − 1) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀)))
118	114, 117	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀))
119		eluz2 9598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀)))
120	107, 112, 118, 119	syl3anbrc 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
121	103, 104, 120	rspcdva 2869	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
122		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 − 1) = (𝑟 − 1))
123	122	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((𝑟 − 1) + 𝑀))
124	123	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
125	124	elrab3 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
126	125	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
127	126	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
128	121, 127	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
129	128	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑟 ∈ ℕ DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
130		nnwodc 12173	. . 3 ⊢ (({𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) → ∃𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡)
131	65, 101, 129, 130	mp3an2i 1353	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠 ≤ 𝑡)
132	64, 131	r19.29a 2637	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∃wex 1503 ∈ wcel 2164 ∀wral 2472 ∃wrex 2473 {crab 2476 ⊆ wss 3153 class class class wbr 4029 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ℝcr 7871 0cc0 7872 1c1 7873 + caddc 7875 ≤ cle 8055 − cmin 8190 ℕcn 8982 ℕ₀cn0 9240 ℤcz 9317 ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-sep 4147 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-addcom 7972 ax-addass 7974 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-inn 8983 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-fz 10075 df-fzo 10209

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