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Theorem uzwodc 12021
Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
uzwodc ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘   𝑥,𝑆

Proof of Theorem uzwodc
Dummy variables 𝑠 𝑝 𝑡 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) → 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
2 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 − 1) = (𝑠 − 1))
32oveq1d 5884 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((𝑠 − 1) + 𝑀))
43eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑠 → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
54elrab 2893 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
61, 5sylib 122 . . . 4 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
76simprd 114 . . 3 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) → ((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
8 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑡 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑠𝑡𝑠 ≤ ((𝑘𝑀) + 1)))
9 simplr 528 . . . . . . 7 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡)
10 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑝 − 1) = (((𝑘𝑀) + 1) − 1))
1110oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ((𝑘𝑀) + 1) → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((((𝑘𝑀) + 1) − 1) + 𝑀))
1211eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((𝑘𝑀) + 1) → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝑘𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
13 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
1413ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘𝑆)
1614, 15sseldd 3156 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
20 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzel2 9522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
2322ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑥𝑆𝑀 ∈ ℤ))
2423exlimdv 1819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (∃𝑥 𝑥𝑆𝑀 ∈ ℤ))
2513, 19, 24sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
2718, 26zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
28 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
2916, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑀𝑘)
3018zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
3126zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
3230, 31subge0d 8482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (0 ≤ (𝑘𝑀) ↔ 𝑀𝑘))
3329, 32mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 0 ≤ (𝑘𝑀))
34 elnn0z 9255 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑘𝑀)))
3527, 33, 34sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
36 nn0p1nn 9204 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
3827zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑘𝑀) ∈ ℂ)
39 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39pncand 8259 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
4140oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((((𝑘𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = ((𝑘𝑀) + 𝑀))
4218zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℂ)
4326zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
4442, 43npcand 8262 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑘𝑀) + 𝑀) = 𝑘)
4541, 44eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((((𝑘𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = 𝑘)
4645, 15eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((((𝑘𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
4712, 37, 46elrabd 2895 . . . . . . 7 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
488, 9, 47rspcdva 2846 . . . . . 6 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑠 ≤ ((𝑘𝑀) + 1))
49 elrabi 2890 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} → 𝑠 ∈ ℕ)
5049ad3antlr 493 . . . . . . . 8 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑠 ∈ ℕ)
5150nnred 8921 . . . . . . 7 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑠 ∈ ℝ)
52 1red 7963 . . . . . . 7 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → 1 ∈ ℝ)
5330, 31resubcld 8328 . . . . . . 7 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑘𝑀) ∈ ℝ)
5451, 52, 53lesubaddd 8489 . . . . . 6 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑠 − 1) ≤ (𝑘𝑀) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑘𝑀) + 1)))
5548, 54mpbird 167 . . . . 5 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑠 − 1) ≤ (𝑘𝑀))
5651, 52resubcld 8328 . . . . . 6 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
57 leaddsub 8385 . . . . . 6 (((𝑠 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 − 1) ≤ (𝑘𝑀)))
5856, 31, 30, 57syl3anc 1238 . . . . 5 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 − 1) ≤ (𝑘𝑀)))
5955, 58mpbird 167 . . . 4 (((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘)
6059ralrimiva 2550 . . 3 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) → ∀𝑘𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘)
61 breq1 4003 . . . . 5 (𝑗 = ((𝑠 − 1) + 𝑀) → (𝑗𝑘 ↔ ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘))
6261ralbidv 2477 . . . 4 (𝑗 = ((𝑠 − 1) + 𝑀) → (∀𝑘𝑆 𝑗𝑘 ↔ ∀𝑘𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘))
6362rspcev 2841 . . 3 ((((𝑠 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑠 − 1) + 𝑀) ≤ 𝑘) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
647, 60, 63syl2anc 411 . 2 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) ∧ ∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
65 ssrab2 3240 . . 3 {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
66 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
6720, 66syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℤ)
6867, 22zsubcld 9369 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑀) ∈ ℤ)
69 1zzd 9269 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℤ)
7068, 69zaddcld 9368 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑀) + 1) ∈ ℤ)
71 oveq1 5876 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = ((𝑥𝑀) + 1) → (𝑝 − 1) = (((𝑥𝑀) + 1) − 1))
7271oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ((𝑥𝑀) + 1) → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((((𝑥𝑀) + 1) − 1) + 𝑀))
7372eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ((𝑥𝑀) + 1) → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((((𝑥𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
74 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
7520, 74syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀𝑥)
7667zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
7722zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
7876, 77subge0d 8482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → (0 ≤ (𝑥𝑀) ↔ 𝑀𝑥))
7975, 78mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝑀))
80 elnn0z 9255 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀)))
8168, 79, 80sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑀) ∈ ℕ0)
82 nn0p1nn 9204 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥𝑀) + 1) ∈ ℕ)
8381, 82syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑀) + 1) ∈ ℕ)
8468zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
85 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85pncand 8259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥𝑀) + 1) − 1) = (𝑥𝑀))
8786oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((((𝑥𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = ((𝑥𝑀) + 𝑀))
8867zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
8922zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
9088, 89npcand 8262 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑀) + 𝑀) = 𝑥)
9187, 90eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((((𝑥𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) = 𝑥)
92 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9391, 92eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((((𝑥𝑀) + 1) − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
9473, 83, 93elrabd 2895 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
95 eleq1 2240 . . . . . . . . 9 (𝑞 = ((𝑥𝑀) + 1) → (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ ((𝑥𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
9695spcegv 2825 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑀) + 1) ∈ ℤ → (((𝑥𝑀) + 1) ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
9770, 94, 96sylc 62 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
9897ex 115 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑥𝑆 → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
9998exlimdv 1819 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}))
10099imp 124 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
1011003adant3 1017 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
102 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑟 − 1) + 𝑀) → (𝑥𝑆 ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
103102dcbid 838 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑟 − 1) + 𝑀) → (DECID 𝑥𝑆DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
104 simpl3 1002 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆)
10524imp 124 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
1061053adant3 1017 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
107106adantr 276 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
108 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈ ℕ)
109108nnzd 9363 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈ ℤ)
110 1zzd 9269 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
111109, 110zsubcld 9369 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (𝑟 − 1) ∈ ℤ)
112111, 107zaddcld 9368 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ ℤ)
113 nnm1ge0 9328 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑟 − 1))
114113adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑟 − 1))
115107zred 9364 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
116111zred 9364 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (𝑟 − 1) ∈ ℝ)
117115, 116addge02d 8481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝑟 − 1) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀)))
118114, 117mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀))
119 eluz2 9523 . . . . . . 7 (((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((𝑟 − 1) + 𝑀)))
120107, 112, 118, 119syl3anbrc 1181 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
121103, 104, 120rspcdva 2846 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆)
122 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 − 1) = (𝑟 − 1))
123122oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 − 1) + 𝑀) = ((𝑟 − 1) + 𝑀))
124123eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑟 → (((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
125124elrab3 2894 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℕ → (𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
126125dcbid 838 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℕ → (DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
127126adantl 277 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → (DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ↔ DECID ((𝑟 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆))
128121, 127mpbird 167 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) ∧ 𝑟 ∈ ℕ) → DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
129128ralrimiva 2550 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∀𝑟 ∈ ℕ DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆})
130 nnwodc 12020 . . 3 (({𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑞 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ DECID 𝑟 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}) → ∃𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡)
13165, 101, 129, 130mp3an2i 1342 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∃𝑠 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}∀𝑡 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ ((𝑝 − 1) + 𝑀) ∈ 𝑆}𝑠𝑡)
13264, 131r19.29a 2620 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝑆) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805  cle 7983  cmin 8118  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129
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