ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcoapbr GIF version

Theorem dvcoapbr 14524
Description: The chain rule for derivatives at a point. The 𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ) hypothesis constrains what functions work for 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
dvco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
dvcoap.gap (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
dvcobr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcobr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
dvco.bf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvcoap.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐢   𝑒,𝐺   𝑒,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝑆(𝑒)   𝑇(𝑒)   𝐹(𝑒)   𝐽(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝐿(𝑒)   𝑋(𝑒)

Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2187 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑇) = (𝐽 β†Ύt 𝑇)
3 dvcoap.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
4 eqid 2187 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
6 dvco.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 dvco.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8sstrd 3177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
106, 9fssd 5390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
11 dvco.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 14504 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
131, 12mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1413simpld 112 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ))
15 dvco.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
1615adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
176adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
18 elrabi 2902 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1918adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
2017, 19ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2116, 20ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
225, 10, 11dvbss 14507 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝑇 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
23 cnex 7949 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
2524, 5ssexd 4155 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
26 elpm2r 6680 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) ∧ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇))
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇))
28 reldvg 14501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇)) β†’ Rel (𝑇 D 𝐺))
295, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Rel (𝑇 D 𝐺))
30 releldm 4874 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3129, 1, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3222, 31sseldd 3168 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3332adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3417, 33ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
3516, 34ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3621, 35subcld 8282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
3710adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
3837, 19ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3937, 33ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4038, 39subcld 8282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
419adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4241, 20sseldd 3168 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4341, 34sseldd 3168 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
44 breq1 4018 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 # 𝐢 ↔ 𝑧 # 𝐢))
4544elrab 2905 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↔ (𝑧 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 # 𝐢))
4645simprbi 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 # 𝐢)
4746adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 # 𝐢)
48 breq1 4018 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 # 𝐢 ↔ 𝑧 # 𝐢))
49 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜π‘§))
5049breq1d 4025 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
5148, 50imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)) ↔ (𝑧 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ))))
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
5352adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
5451, 53, 19rspcdva 2858 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ))
5642, 43, 55subap0d 8615 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) # 0)
5736, 40, 56divclapd 8761 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
5811, 5sstrd 3177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
5910, 58, 32dvlemap 14502 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
60 ssidd 3188 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
613cntoptopon 14385 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
62 txtopon 14115 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
6361, 61, 62mp2an 426 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
6463toponrestid 13874 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
65 breq1 4018 . . . . . 6 (𝑀 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 # (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
6665, 20, 55elrabd 2907 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)})
6715adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
68 elrabi 2902 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
6968adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
7067, 69ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7232adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
7371, 72ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
7467, 73ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7570, 74subcld 8282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
769adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7776, 69sseldd 3168 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7876, 73sseldd 3168 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
7977, 78subcld 8282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
80 breq1 4018 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 # (πΊβ€˜πΆ) ↔ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ)))
8180elrab 2905 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ)))
8281simprbi 275 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} β†’ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ))
8382adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ))
8477, 78, 83subap0d 8615 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) # 0)
8575, 79, 84divclapd 8761 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
86 limcresi 14488 . . . . . . 7 (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) limβ„‚ 𝐢)
876feqmptd 5582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
8887reseq1d 4918 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}))
89 ssrab2 3252 . . . . . . . . . 10 {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† π‘Œ
90 resmpt 4967 . . . . . . . . . 10 ({𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§))
9288, 91eqtrdi 2236 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
9392oveq1d 5903 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
9486, 93sseqtrid 3217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
95 eqid 2187 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
9695, 3dvcnp2cntop 14516 . . . . . . . . 9 (((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1251 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
983, 95cnplimccntop 14492 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
9958, 32, 98syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
10097, 99mpbid 147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
101100simprd 114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
10294, 101sseldd 3168 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
103 dvco.bf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
104 eqid 2187 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
105 eqid 2187 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 14504 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))))
107103, 106mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))))
108107simprd 114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
109 fveq2 5527 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
110109oveq1d 5903 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
111 oveq1 5895 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
112110, 111oveq12d 5906 . . . . 5 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 14500 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
11413simprd 114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1153mulcncntop 14407 . . . . 5 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1168, 15, 7dvcl 14505 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
117103, 116mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1185, 10, 11dvcl 14505 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1191, 118mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
120117, 119opelxpd 4671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
12163toponunii 13870 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
122121cncnpi 14081 . . . . 5 (( Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
123115, 120, 122sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 14499 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
12542, 43subcld 8282 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
12658adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
127126, 19sseldd 3168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
128126, 33sseldd 3168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
129127, 128subcld 8282 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
130127, 128, 47subap0d 8615 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) # 0)
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8792 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
132 fvco3 5600 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
13317, 19, 132syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
134 fvco3 5600 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
13517, 33, 134syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
136133, 135oveq12d 5906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
137136oveq1d 5903 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
138131, 137eqtr4d 2223 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
139138mpteq2dva 4105 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
140139oveq1d 5903 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
141124, 140eleqtrd 2266 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
142 eqid 2187 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
143 fco 5393 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
14415, 6, 143syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 14504 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
14614, 141, 145mpbir2and 945 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  {crab 2469  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  βŸ¨cop 3607   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076   Γ— cxp 4636  dom cdm 4638   β†Ύ cres 4640   ∘ ccom 4642  Rel wrel 4643  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   ↑pm cpm 6663  β„‚cc 7823   Β· cmul 7830   βˆ’ cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  abscabs 11020   β†Ύt crest 12706  MetOpencmopn 13784  TopOnctopon 13863  intcnt 13946   Cn ccn 14038   CnP ccnp 14039   Γ—t ctx 14105   limβ„‚ climc 14476   D cdv 14477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-addf 7947  ax-mulf 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-met 13788  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-ntr 13949  df-cn 14041  df-cnp 14042  df-tx 14106  df-cncf 14411  df-limced 14478  df-dvap 14479
This theorem is referenced by:  dvef  14541
  Copyright terms: Public domain W3C validator