ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcoapbr GIF version

Theorem dvcoapbr 14107
Description: The chain rule for derivatives at a point. The 𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ) hypothesis constrains what functions work for 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
dvco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
dvcoap.gap (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
dvcobr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcobr.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
dvco.bf (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvcoap.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐢   𝑒,𝐺   𝑒,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝑆(𝑒)   𝑇(𝑒)   𝐹(𝑒)   𝐽(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝐿(𝑒)   𝑋(𝑒)

Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2177 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑇) = (𝐽 β†Ύt 𝑇)
3 dvcoap.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
4 eqid 2177 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
6 dvco.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 dvco.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8sstrd 3165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
106, 9fssd 5378 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
11 dvco.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 14087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
131, 12mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1413simpld 112 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ))
15 dvco.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
1615adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
176adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
18 elrabi 2890 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1918adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
2017, 19ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2116, 20ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
225, 10, 11dvbss 14090 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝑇 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
23 cnex 7934 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
2524, 5ssexd 4143 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
26 elpm2r 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) ∧ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇))
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇))
28 reldvg 14084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑇)) β†’ Rel (𝑇 D 𝐺))
295, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Rel (𝑇 D 𝐺))
30 releldm 4862 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3129, 1, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3222, 31sseldd 3156 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3332adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3417, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
3516, 34ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
3621, 35subcld 8267 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
3710adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
3837, 19ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3937, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4038, 39subcld 8267 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
419adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4241, 20sseldd 3156 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4341, 34sseldd 3156 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
44 breq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 # 𝐢 ↔ 𝑧 # 𝐢))
4544elrab 2893 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↔ (𝑧 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 # 𝐢))
4645simprbi 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 # 𝐢)
4746adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 # 𝐢)
48 breq1 4006 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 # 𝐢 ↔ 𝑧 # 𝐢))
49 fveq2 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜π‘§))
5049breq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
5148, 50imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)) ↔ (𝑧 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ))))
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
5352adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ (𝑒 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘’) # (πΊβ€˜πΆ)))
5451, 53, 19rspcdva 2846 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 # 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ))
5642, 43, 55subap0d 8600 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) # 0)
5736, 40, 56divclapd 8746 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
5811, 5sstrd 3165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
5910, 58, 32dvlemap 14085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
60 ssidd 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
613cntoptopon 13968 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
62 txtopon 13698 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
6361, 61, 62mp2an 426 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
6463toponrestid 13457 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
65 breq1 4006 . . . . . 6 (𝑀 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑀 # (πΊβ€˜πΆ) ↔ (πΊβ€˜π‘§) # (πΊβ€˜πΆ)))
6665, 20, 55elrabd 2895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)})
6715adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
68 elrabi 2890 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
6968adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
7067, 69ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7232adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
7371, 72ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ 𝑋)
7467, 73ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7570, 74subcld 8267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
769adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7776, 69sseldd 3156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7876, 73sseldd 3156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
7977, 78subcld 8267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
80 breq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 # (πΊβ€˜πΆ) ↔ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ)))
8180elrab 2893 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ)))
8281simprbi 275 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} β†’ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ))
8382adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ 𝑦 # (πΊβ€˜πΆ))
8477, 78, 83subap0d 8600 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) # 0)
8575, 79, 84divclapd 8746 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)}) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
86 limcresi 14071 . . . . . . 7 (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) limβ„‚ 𝐢)
876feqmptd 5569 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
8887reseq1d 4906 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}))
89 ssrab2 3240 . . . . . . . . . 10 {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† π‘Œ
90 resmpt 4955 . . . . . . . . . 10 ({𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ (πΊβ€˜π‘§)) β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§))
9288, 91eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
9392oveq1d 5889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
9486, 93sseqtrid 3205 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) βŠ† ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
95 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
9695, 3dvcnp2cntop 14099 . . . . . . . . 9 (((𝑇 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
983, 95cnplimccntop 14075 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
9958, 32, 98syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
10097, 99mpbid 147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
101100simprd 114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
10294, 101sseldd 3156 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
103 dvco.bf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
104 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
105 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) = (𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 14087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))))
107103, 106mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ))))
108107simprd 114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # (πΊβ€˜πΆ)} ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ (πΊβ€˜πΆ)))
109 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
110109oveq1d 5889 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
111 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
112110, 111oveq12d 5892 . . . . 5 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 14083 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
11413simprd 114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1153mulcncntop 13990 . . . . 5 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1168, 15, 7dvcl 14088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜πΆ)(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
117103, 116mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1185, 10, 11dvcl 14088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑇 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
1191, 118mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
120117, 119opelxpd 4659 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
12163toponunii 13453 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
122121cncnpi 13664 . . . . 5 (( Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
123115, 120, 122sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 14082 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
12542, 43subcld 8267 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
12658adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
127126, 19sseldd 3156 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
128126, 33sseldd 3156 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
129127, 128subcld 8267 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
130127, 128, 47subap0d 8600 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) # 0)
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
132 fvco3 5587 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
13317, 19, 132syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
134 fvco3 5587 . . . . . . . . 9 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
13517, 33, 134syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
136133, 135oveq12d 5892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
137136oveq1d 5889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
138131, 137eqtr4d 2213 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
139138mpteq2dva 4093 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
140139oveq1d 5889 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) / ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) Β· (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
141124, 140eleqtrd 2256 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
142 eqid 2177 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
143 fco 5381 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
14415, 6, 143syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π‘ŒβŸΆβ„‚)
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 14087 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑇))β€˜π‘Œ) ∧ (𝐾 Β· 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ π‘Œ ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
14614, 141, 145mpbir2and 944 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(𝐾 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129  βŸ¨cop 3595   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626   β†Ύ cres 4628   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ↑pm cpm 6648  β„‚cc 7808   Β· cmul 7815   βˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  abscabs 11005   β†Ύt crest 12687  MetOpencmopn 13381  TopOnctopon 13446  intcnt 13529   Cn ccn 13621   CnP ccnp 13622   Γ—t ctx 13688   limβ„‚ climc 14059   D cdv 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689  df-cncf 13994  df-limced 14061  df-dvap 14062
This theorem is referenced by:  dvef  14124
  Copyright terms: Public domain W3C validator