Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcoapbr GIF version

Theorem dvcoapbr 13042
 Description: The chain rule for derivatives at a point. The 𝑢 # 𝐶 → (𝐺‘𝑢) # (𝐺‘𝐶) hypothesis constrains what functions work for 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcoap.gap (𝜑 → ∀𝑢𝑌 (𝑢 # 𝐶 → (𝐺𝑢) # (𝐺𝐶)))
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvcoap.j 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvcoapbr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐶   𝑢,𝐺   𝑢,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑆(𝑢)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑢)   𝐿(𝑢)   𝑋(𝑢)

Proof of Theorem dvcoapbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2157 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvcoap.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4 eqid 2157 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3138 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 5331 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldvap 13022 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 111 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
1615adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
176adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑌𝑋)
18 elrabi 2865 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} → 𝑧𝑌)
1918adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝑧𝑌)
2017, 19ffvelrnd 5602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2116, 20ffvelrnd 5602 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
225, 10, 11dvbss 13025 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
23 cnex 7850 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2524, 5ssexd 4104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ V)
26 elpm2r 6608 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑇))
2724, 25, 10, 11, 26syl22anc 1221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑇))
28 reldvg 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑇)) → Rel (𝑇 D 𝐺))
295, 27, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Rel (𝑇 D 𝐺))
30 releldm 4820 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3129, 1, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3222, 31sseldd 3129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
3332adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝐶𝑌)
3417, 33ffvelrnd 5602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3516, 34ffvelrnd 5602 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3621, 35subcld 8180 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3837, 19ffvelrnd 5602 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3937, 33ffvelrnd 5602 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 8180 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
419adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4241, 20sseldd 3129 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4341, 34sseldd 3129 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
44 breq1 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶𝑧 # 𝐶))
4544elrab 2868 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧𝑌𝑧 # 𝐶))
4645simprbi 273 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
4746adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
48 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 # 𝐶𝑧 # 𝐶))
49 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → (𝐺𝑢) = (𝐺𝑧))
5049breq1d 3975 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑧 → ((𝐺𝑢) # (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) # (𝐺𝐶)))
5148, 50imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 # 𝐶 → (𝐺𝑢) # (𝐺𝐶)) ↔ (𝑧 # 𝐶 → (𝐺𝑧) # (𝐺𝐶))))
52 dvcoap.gap . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢𝑌 (𝑢 # 𝐶 → (𝐺𝑢) # (𝐺𝐶)))
5352adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ∀𝑢𝑌 (𝑢 # 𝐶 → (𝐺𝑢) # (𝐺𝐶)))
5451, 53, 19rspcdva 2821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 # 𝐶 → (𝐺𝑧) # (𝐺𝐶)))
5547, 54mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) # (𝐺𝐶))
5642, 43, 55subap0d 8513 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) # 0)
5736, 40, 56divclapd 8657 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
5811, 5sstrd 3138 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5910, 58, 32dvlemap 13020 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
60 ssidd 3149 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
613cntoptopon 12903 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
62 txtopon 12633 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
6361, 61, 62mp2an 423 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
6463toponrestid 12390 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
65 breq1 3968 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺𝑧) → (𝑤 # (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) # (𝐺𝐶)))
6665, 20, 55elrabd 2870 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)})
6715adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
68 elrabi 2865 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} → 𝑦𝑋)
6968adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝑦𝑋)
7067, 69ffvelrnd 5602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
716adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝐺:𝑌𝑋)
7232adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝐶𝑌)
7371, 72ffvelrnd 5602 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
7467, 73ffvelrnd 5602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
7570, 74subcld 8180 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
769adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
7776, 69sseldd 3129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝑦 ∈ ℂ)
7876, 73sseldd 3129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7977, 78subcld 8180 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
80 breq1 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 # (𝐺𝐶) ↔ 𝑦 # (𝐺𝐶)))
8180elrab 2868 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↔ (𝑦𝑋𝑦 # (𝐺𝐶)))
8281simprbi 273 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} → 𝑦 # (𝐺𝐶))
8382adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → 𝑦 # (𝐺𝐶))
8477, 78, 83subap0d 8513 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) # 0)
8575, 79, 84divclapd 8657 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)}) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
86 limcresi 13006 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶)
876feqmptd 5520 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
8887reseq1d 4864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}))
89 ssrab2 3213 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑌
90 resmpt 4913 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧))
9288, 91eqtrdi 2206 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)))
9392oveq1d 5836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
9486, 93sseqtrid 3178 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
95 eqid 2157 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
9695, 3dvcnp2cntop 13034 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
975, 10, 11, 31, 96syl31anc 1223 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
983, 95cnplimccntop 13010 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
9958, 32, 98syl2anc 409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
10097, 99mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
101100simprd 113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
10294, 101sseldd 3129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
103 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
104 eqid 2157 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
105 eqid 2157 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
106104, 3, 105, 8, 15, 7eldvap 13022 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
107103, 106mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
108107simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # (𝐺𝐶)} ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
109 fveq2 5467 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
110109oveq1d 5836 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
111 oveq1 5828 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
112110, 111oveq12d 5839 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
11366, 85, 102, 108, 112limccoap 13018 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) lim 𝐶))
11413simprd 113 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1153mulcncntop 12925 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1168, 15, 7dvcl 13023 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
117103, 116mpdan 418 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1185, 10, 11dvcl 13023 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1191, 118mpdan 418 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
120117, 119opelxpd 4618 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
12163toponunii 12386 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
122121cncnpi 12599 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
123115, 120, 122sylancr 411 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
12457, 59, 60, 60, 3, 64, 113, 114, 123limccnp2cntop 13017 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
12542, 43subcld 8180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
12658adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝑌 ⊆ ℂ)
127126, 19sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
128126, 33sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
129127, 128subcld 8180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
130127, 128, 47subap0d 8513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) # 0)
13136, 125, 129, 56, 130dmdcanap2d 8688 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
132 fvco3 5538 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
13317, 19, 132syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
134 fvco3 5538 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13517, 33, 134syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
136133, 135oveq12d 5839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
137136oveq1d 5836 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
138131, 137eqtr4d 2193 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
139138mpteq2dva 4054 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
140139oveq1d 5836 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
141124, 140eleqtrd 2236 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
142 eqid 2157 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
143 fco 5334 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
14415, 6, 143syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1452, 3, 142, 5, 144, 11eldvap 13022 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑌𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
14614, 141, 145mpbir2and 929 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  {crab 2439  Vcvv 2712   ⊆ wss 3102  ⟨cop 3563   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025   × cxp 4583  dom cdm 4585   ↾ cres 4587   ∘ ccom 4589  Rel wrel 4590  ⟶wf 5165  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821   ↑pm cpm 6591  ℂcc 7724   · cmul 7731   − cmin 8040   # cap 8450   / cdiv 8539  abscabs 10890   ↾t crest 12322  MetOpencmopn 12356  TopOnctopon 12379  intcnt 12464   Cn ccn 12556   CnP ccnp 12557   ×t ctx 12623   limℂ climc 12994   D cdv 12995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846  ax-addf 7848  ax-mulf 7849 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-map 6592  df-pm 6593  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-cn 12559  df-cnp 12560  df-tx 12624  df-cncf 12929  df-limced 12996  df-dvap 12997 This theorem is referenced by:  dvef  13059
 Copyright terms: Public domain W3C validator