Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnopnap GIF version

Theorem cnopnap 12777
 Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnopnap (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))
Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem cnopnap
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3182 . . 3 {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ
21a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ)
3 breq1 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴𝑥 # 𝐴))
43elrab 2840 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
54biimpi 119 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
65adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
76simpld 111 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8subcld 8085 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
106simprd 113 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 # 𝐴)
117, 8, 10subap0d 8418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥𝐴) # 0)
129, 11absrpclapd 10972 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ+)
13 breq1 3932 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐴𝑧 # 𝐴))
14 cnxmet 12714 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
159abscld 10965 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
1615rexrd 7827 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*)
17 elbl 12574 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))))
1814, 7, 16, 17mp3an2i 1320 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))))
1918biimpa 294 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴))))
2019simpld 111 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
218adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21subcld 8085 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
2322abscld 10965 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
247adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524, 20subcld 8085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
2625abscld 10965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ∈ ℝ)
2715adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
2826, 23readdcld 7807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))) ∈ ℝ)
29 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3029cnmetdval 12712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
3124, 20, 30syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
3219simprd 113 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))
3331, 32eqbrtrrd 3952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) < (abs‘(𝑥𝐴)))
3424, 21, 20abs3difd 10984 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))))
3526, 27, 28, 33, 34ltletrd 8197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) < ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))))
3623, 26ltaddposd 8303 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (0 < (abs‘(𝑧𝐴)) ↔ (abs‘(𝑥𝑧)) < ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴)))))
3735, 36mpbird 166 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 0 < (abs‘(𝑧𝐴)))
3823, 37gt0ap0d 8403 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑧𝐴)) # 0)
39 abs00ap 10846 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑧𝐴)) # 0 ↔ (𝑧𝐴) # 0))
4022, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((abs‘(𝑧𝐴)) # 0 ↔ (𝑧𝐴) # 0))
4138, 40mpbid 146 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧𝐴) # 0)
42 subap0 8417 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
4320, 21, 42syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((𝑧𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
4441, 43mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 # 𝐴)
4513, 20, 44elrabd 2842 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
4645ex 114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
4746ssrdv 3103 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
48 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑟 = (abs‘(𝑥𝐴)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))))
4948sseq1d 3126 . . . . 5 (𝑟 = (abs‘(𝑥𝐴)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
5049rspcev 2789 . . . 4 (((abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
5112, 47, 50syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
5251ralrimiva 2505 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
53 eqid 2139 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5453elmopn2 12632 . . 3 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})))
5514, 54ax-mp 5 . 2 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
562, 52, 55sylanbrc 413 1 (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929   ∘ ccom 4543  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  ℝcr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635  ℝ*cxr 7811   < clt 7812   − cmin 7945   # cap 8355  ℝ+crp 9453  abscabs 10781  ∞Metcxmet 12163  ballcbl 12165  MetOpencmopn 12168 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-bases 12224 This theorem is referenced by:  dvrecap  12860
 Copyright terms: Public domain W3C validator