ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnopnap GIF version

Theorem cnopnap 13761
Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnopnap (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))
Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem cnopnap
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3240 . . 3 {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ
21a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ)
3 breq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴𝑥 # 𝐴))
43elrab 2893 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
54biimpi 120 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
65adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
76simpld 112 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8subcld 8258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
106simprd 114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 # 𝐴)
117, 8, 10subap0d 8591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥𝐴) # 0)
129, 11absrpclapd 11181 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ+)
13 breq1 4003 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐴𝑧 # 𝐴))
14 cnxmet 13698 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
159abscld 11174 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
1615rexrd 7997 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*)
17 elbl 13558 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))))
1814, 7, 16, 17mp3an2i 1342 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))))
1918biimpa 296 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴))))
2019simpld 112 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
218adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21subcld 8258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
2322abscld 11174 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
247adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524, 20subcld 8258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
2625abscld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ∈ ℝ)
2715adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
2826, 23readdcld 7977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))) ∈ ℝ)
29 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3029cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
3124, 20, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
3219simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥𝐴)))
3331, 32eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) < (abs‘(𝑥𝐴)))
3424, 21, 20abs3difd 11193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))))
3526, 27, 28, 33, 34ltletrd 8370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑥𝑧)) < ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴))))
3623, 26ltaddposd 8476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (0 < (abs‘(𝑧𝐴)) ↔ (abs‘(𝑥𝑧)) < ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝐴)))))
3735, 36mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 0 < (abs‘(𝑧𝐴)))
3823, 37gt0ap0d 8576 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (abs‘(𝑧𝐴)) # 0)
39 abs00ap 11055 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑧𝐴)) # 0 ↔ (𝑧𝐴) # 0))
4022, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((abs‘(𝑧𝐴)) # 0 ↔ (𝑧𝐴) # 0))
4138, 40mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → (𝑧𝐴) # 0)
42 subap0 8590 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
4320, 21, 42syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → ((𝑧𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
4441, 43mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 # 𝐴)
4513, 20, 44elrabd 2895 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴)))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
4645ex 115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
4746ssrdv 3161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
48 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑟 = (abs‘(𝑥𝐴)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))))
4948sseq1d 3184 . . . . 5 (𝑟 = (abs‘(𝑥𝐴)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
5049rspcev 2841 . . . 4 (((abs‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
5112, 47, 50syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
5251ralrimiva 2550 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
53 eqid 2177 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5453elmopn2 13616 . . 3 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})))
5514, 54ax-mp 5 . 2 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
562, 52, 55sylanbrc 417 1 (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  ccom 4627  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  *cxr 7981   < clt 7982  cmin 8118   # cap 8528  +crp 9640  abscabs 10990  ∞Metcxmet 13147  ballcbl 13149  MetOpencmopn 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-bases 13208
This theorem is referenced by:  dvrecap  13844
  Copyright terms: Public domain W3C validator