Theorem cnopnap 14955

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3269	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ)
3		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
4	3	elrab 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
7	6	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 8356	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	6	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 # 𝐴)
11	7, 8, 10	subap0d 8690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) # 0)
12	9, 11	absrpclapd 11372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
13		breq1 4037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑧 # 𝐴))
14		cnxmet 14875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
15	9	abscld 11365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 8095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*)
17		elbl 14735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴))))
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	subcld 8356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	abscld 11365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24, 20	subcld 8356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℂ)
26	25	abscld 11365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) ∈ ℝ)
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
28	26, 23	readdcld 8075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
30	29	cnmetdval 14873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
31	24, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
33	31, 32	eqbrtrrd 4058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
34	24, 21, 20	abs3difd 11384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
36	23, 26	ltaddposd 8575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴)))))
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
38	23, 37	gt0ap0d 8675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0)
39		abs00ap 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) # 0)
42		subap0 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
43	20, 21, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 # 𝐴)
45	13, 20, 44	elrabd 2922	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
46	45	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
47	46	ssrdv 3190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
48		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))))
49	48	sseq1d 3213	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
50	49	rspcev 2868	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
51	12, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
52	51	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
53		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 14793	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})))
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
56	2, 52, 55	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   ∘ ccom 4668  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898   + caddc 7901  ℝ^*cxr 8079   < clt 8080   − cmin 8216   # cap 8627  ℝ⁺crp 9747  abscabs 11181  ∞Metcxmet 14170  ballcbl 14172  MetOpencmopn 14175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-topgen 12964  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-met 14179  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-top 14342  df-bases 14387

This theorem is referenced by:  dvrecap  15057