Theorem cnopnap 13234

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3227	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ)
3		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
4	3	elrab 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
5	4	biimpi 119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
7	6	simpld 111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 8209	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	6	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 # 𝐴)
11	7, 8, 10	subap0d 8542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) # 0)
12	9, 11	absrpclapd 11130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
13		breq1 3985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑧 # 𝐴))
14		cnxmet 13171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
15	9	abscld 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*)
17		elbl 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
19	18	biimpa 294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴))))
20	19	simpld 111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
21	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	subcld 8209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24, 20	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℂ)
26	25	abscld 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) ∈ ℝ)
27	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
28	26, 23	readdcld 7928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
30	29	cnmetdval 13169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
31	24, 20, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
32	19	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
33	31, 32	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
34	24, 21, 20	abs3difd 11142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
36	23, 26	ltaddposd 8427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴)))))
37	35, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
38	23, 37	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0)
39		abs00ap 11004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
41	38, 40	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) # 0)
42		subap0 8541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
43	20, 21, 42	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
44	41, 43	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 # 𝐴)
45	13, 20, 44	elrabd 2884	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
46	45	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
47	46	ssrdv 3148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
48		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))))
49	48	sseq1d 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
50	49	rspcev 2830	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
51	12, 47, 50	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
52	51	ralrimiva 2539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
53		eqid 2165	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 13089	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})))
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
56	2, 52, 55	sylanbrc 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  {crab 2448   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ∘ ccom 4608  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   − cmin 8069   # cap 8479  ℝ⁺crp 9589  abscabs 10939  ∞Metcxmet 12620  ballcbl 12622  MetOpencmopn 12625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  dvrecap  13317