Theorem cnopnap 15837

Description: The complex numbers apart from a given complex number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem cnopnap

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ)
3		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
4	3	elrab 2982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
5	4	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 𝐴))
7	6	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 8644	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	6	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → 𝑥 # 𝐴)
11	7, 8, 10	subap0d 8980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥 − 𝐴) # 0)
12	9, 11	absrpclapd 11977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
13		breq1 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑧 # 𝐴))
14		cnxmet 15757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
15	9	abscld 11970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 8381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*)
17		elbl 15617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
18	14, 7, 16, 17	mp3an2i 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))))
19	18	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴))))
20	19	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	subcld 8644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	abscld 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24, 20	subcld 8644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℂ)
26	25	abscld 11970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) ∈ ℝ)
27	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ)
28	26, 23	readdcld 8361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
30	29	cnmetdval 15755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
31	24, 20, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥 − 𝑧)))
32	19	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
33	31, 32	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
34	24, 21, 20	abs3difd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
35	26, 27, 28, 33, 34	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴))))
36	23, 26	ltaddposd 8864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑧)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝐴)))))
37	35, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 0 < (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
38	23, 37	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0)
39		abs00ap 11850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
40	22, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) # 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) # 0))
41	38, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → (𝑧 − 𝐴) # 0)
42		subap0 8979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
43	20, 21, 42	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → ((𝑧 − 𝐴) # 0 ↔ 𝑧 # 𝐴))
44	41, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 # 𝐴)
45	13, 20, 44	elrabd 2984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴)))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
46	45	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
47	46	ssrdv 3254	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
48		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))))
49	48	sseq1d 3277	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (abs‘(𝑥 − 𝐴)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
50	49	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(𝑥 − 𝐴))) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
51	12, 47, 50	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
52	51	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})
53		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 15675	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴})))
55	14, 54	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ↔ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴}))
56	2, 52, 55	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (MetOpen‘(abs ∘ − )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ∘ ccom 4780  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188  ℝ^*cxr 8365   < clt 8366   − cmin 8504   # cap 8917  ℝ⁺crp 10071  abscabs 11785  ∞Metcxmet 14982  ballcbl 14984  MetOpencmopn 14987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-bases 15269

This theorem is used by:  dvrecap  15939