ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issubmd GIF version

Theorem issubmd 12742
Description: Deduction for proving a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmd.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmd.p + = (+g𝑀)
issubmd.z 0 = (0g𝑀)
issubmd.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
issubmd.cz (𝜑𝜒)
issubmd.cp ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
issubmd.ch (𝑧 = 0 → (𝜓𝜒))
issubmd.th (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
issubmd.ta (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
issubmd.et (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
Assertion
Ref Expression
issubmd (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧, 0   𝜒,𝑧   𝜂,𝑧   𝜏,𝑧   𝜃,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑧)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubmd
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3240 . . 3 {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵
21a1i 9 . 2 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵)
3 issubmd.ch . . 3 (𝑧 = 0 → (𝜓𝜒))
4 issubmd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
5 issubmd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 issubmd.z . . . . 5 0 = (0g𝑀)
75, 6mndidcl 12710 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
84, 7syl 14 . . 3 (𝜑0𝐵)
9 issubmd.cz . . 3 (𝜑𝜒)
103, 8, 9elrabd 2895 . 2 (𝜑0 ∈ {𝑧𝐵𝜓})
11 issubmd.th . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
1211elrab 2893 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑥𝐵𝜃))
13 issubmd.ta . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
1413elrab 2893 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑦𝐵𝜏))
1512, 14anbi12i 460 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓}) ↔ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)))
16 issubmd.et . . . . 5 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
174adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑀 ∈ Mnd)
18 simprll 537 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑥𝐵)
19 simprrl 539 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑦𝐵)
20 issubmd.p . . . . . . 7 + = (+g𝑀)
215, 20mndcl 12703 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
23 an4 586 . . . . . 6 (((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏)))
24 issubmd.cp . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
2523, 24sylan2b 287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝜂)
2616, 22, 25elrabd 2895 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2715, 26sylan2b 287 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2827ralrimivva 2559 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
295, 6, 20issubm 12740 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵0 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
304, 29syl 14 . 2 (𝜑 → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵0 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
312, 10, 28, 30mpbir3and 1180 1 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  wss 3129  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  Mndcmnd 12696  SubMndcsubmnd 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-submnd 12729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator