ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcdifap GIF version

Theorem limcdifap 13764
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcdifap.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdifap (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcdifap
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 13760 . . . . 5 (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp3d 1011 . . . 4 (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
32a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
4 limcrcl 13760 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵) → ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}):dom (𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
54simp3d 1011 . . . 4 (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
65a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
7 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 𝐵𝑧 # 𝐵))
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧𝐴)
9 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 # 𝐵)
107, 8, 9elrabd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})
11 fvres 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) = (𝐹𝑧))
1211eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
1413fvoveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) = (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)))
1514breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))
1615imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
1716pm5.74da 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
18 impexp 263 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
19 impexp 263 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2019imbi2i 226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
21 pm5.4 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2220, 21bitri 184 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2317, 18, 223bitr4g 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
2423ralbidva 2473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
257ralrab 2898 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2624, 25bitr4di 198 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2726rexbidv 2478 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2827ralbidv 2477 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
2928anbi2d 464 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
30 limccl.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3130adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32 limcdifap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3332adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3531, 33, 34ellimc3ap 13763 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
36 ssrab2 3240 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴
37 fssres 5386 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}):{𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
3831, 36, 37sylancl 413 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}):{𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
3936, 33sstrid 3166 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ)
4038, 39, 34ellimc3ap 13763 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
4129, 35, 403bitr4d 220 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵)))
4241ex 115 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵))))
433, 6, 42pm5.21ndd 705 . 2 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵)))
4443eqrdv 2175 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥𝐴𝑥 # 𝐵}) lim 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  dom cdm 4622  cres 4624  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787   < clt 7969  cmin 8105   # cap 8515  +crp 9627  abscabs 10977   lim climc 13756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pm 6644  df-limced 13758
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  13796  dvmulxxbr  13799  dvrecap  13810
  Copyright terms: Public domain W3C validator