Theorem limcdifap 14134

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcdifap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdifap	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcdifap

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 14130	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1011	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
4		limcrcl 14130	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):dom (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simp3d 1011	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
7		breq1 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑧 # 𝐵))
8		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 # 𝐵)
10	7, 8, 9	elrabd 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})
11		fvres 5540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
12	11	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
14	13	fvoveq1d 5897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)))
15	14	breq1d 4014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))
16	15	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
17	16	pm5.74da 443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
18		impexp 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
19		impexp 263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
20	19	imbi2i 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
21		pm5.4 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
22	20, 21	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
23	17, 18, 22	3bitr4g 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
24	23	ralbidva 2473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
25	7	ralrab 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
26	24, 25	bitr4di 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
27	26	rexbidv 2478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
28	27	ralbidv 2477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
29	28	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
30		limccl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
31	30	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32		limcdifap.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ellimc3ap 14133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
36		ssrab2 3241	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴
37		fssres 5392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
38	31, 36, 37	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
39	36, 33	sstrid 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ)
40	38, 39, 34	ellimc3ap 14133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
41	29, 35, 40	3bitr4d 220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵)))
42	41	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))))
43	3, 6, 42	pm5.21ndd 705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵)))
44	43	eqrdv 2175	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  dom cdm 4627   ↾ cres 4629  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   < clt 7992   − cmin 8128   # cap 8538  ℝ⁺crp 9653  abscabs 11006   lim_ℂ climc 14126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pm 6651  df-limced 14128

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14166  dvmulxxbr  14169  dvrecap  14180