Theorem limcdifap 13425

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcdifap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdifap	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcdifap

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 13421	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1006	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
4		limcrcl 13421	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):dom (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	simp3d 1006	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ))
7		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 𝐵 ↔ 𝑧 # 𝐵))
8		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 # 𝐵)
10	7, 8, 9	elrabd 2888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})
11		fvres 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
12	11	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧))
14	13	fvoveq1d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)))
15	14	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))
16	15	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 # 𝐵) → (((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
17	16	pm5.74da 441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
18		impexp 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
19		impexp 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
20	19	imbi2i 225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
21		pm5.4 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
22	20, 21	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
23	17, 18, 22	3bitr4g 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
24	23	ralbidva 2466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
25	7	ralrab 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 # 𝐵 → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
26	24, 25	bitr4di 197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
27	26	rexbidv 2471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
28	27	ralbidv 2470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)))
29	28	anbi2d 461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒)) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
30		limccl.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
31	30	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32		limcdifap.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
33	32	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	31, 33, 34	ellimc3ap 13424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
36		ssrab2 3232	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴
37		fssres 5373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
38	31, 36, 37	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}⟶ℂ)
39	36, 33	sstrid 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ⊆ ℂ)
40	38, 39, 34	ellimc3ap 13424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵} ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵})‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑒))))
41	29, 35, 40	3bitr4d 219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵)))
42	41	ex 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))))
43	3, 6, 42	pm5.21ndd 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵)))
44	43	eqrdv 2168	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 # 𝐵}) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  dom cdm 4611   ↾ cres 4613  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   < clt 7954   − cmin 8090   # cap 8500  ℝ⁺crp 9610  abscabs 10961   lim_ℂ climc 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pm 6629  df-limced 13419

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  13457  dvmulxxbr  13460  dvrecap  13471