ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zsupssdc GIF version

Theorem zsupssdc 11938
Description: An inhabited decidable bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-suploc 7923.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupssdc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
zsupssdc.m (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
zsupssdc.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥𝐴)
zsupssdc.ub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
zsupssdc (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem zsupssdc
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupssdc.ub . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2 breq1 4003 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦𝑥𝑚𝑥))
32cbvralvw 2707 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑥)
4 breq2 4004 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑚𝑥𝑚𝑛))
54ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
63, 5bitrid 192 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
76cbvrexvw 2708 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
81, 7sylib 122 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
9 zsupssdc.m . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴𝑎𝐴))
1110cbvexv 1918 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎𝐴)
129, 11sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐴)
1312adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑎 𝑎𝐴)
14 uzssz 9536 . . . . . . 7 (ℤ‘-𝑛) ⊆ ℤ
15 rabss2 3238 . . . . . . 7 ((ℤ‘-𝑛) ⊆ ℤ → {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴} ⊆ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴} ⊆ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}
17 negeq 8140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑤 → -𝑏 = -𝑤)
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑤 → (-𝑏𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
19 simp1rl 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
2019znegcld 9366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
21 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
2221zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
2319zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
24 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = -𝑤 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑤𝑛))
25 simp1rr 1063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
26 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
2724, 25, 26rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝑛)
2822, 23, 27lenegcon1d 8474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛𝑤)
29 eluz2 9523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑛𝑤))
3020, 21, 28, 29syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛))
3118, 30, 26elrabd 2895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ {𝑏 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑏𝐴})
3231rabssdv 3235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ {𝑏 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑏𝐴})
3318cbvrabv 2736 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑏𝐴} = {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}
3432, 33sseqtrdi 3203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴})
3516a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴} ⊆ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
3634, 35eqssd 3172 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} = {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴})
3736infeq1d 7005 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = inf({𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
3837adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) = inf({𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
39 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4039znegcld 9366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → -𝑛 ∈ ℤ)
4140adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
42 eqid 2177 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴} = {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}
43 negeq 8140 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑎 → -𝑤 = --𝑎)
4443eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑤 = -𝑎 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
45 zsupssdc.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
4846, 47sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
4948znegcld 9366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -𝑎 ∈ ℤ)
50 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑎 → (𝑚𝑛𝑎𝑛))
51 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
5250, 51, 47rspcdva 2846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝑛)
5348zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
5439adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
5554zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
5653, 55lenegd 8471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝑛 ↔ -𝑛 ≤ -𝑎))
5752, 56mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -𝑛 ≤ -𝑎)
58 eluz2 9523 . . . . . . . . . 10 (-𝑎 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑛 ≤ -𝑎))
5941, 49, 57, 58syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -𝑎 ∈ (ℤ‘-𝑛))
6048zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℂ)
6160negnegd 8249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → --𝑎 = 𝑎)
6261, 47eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → --𝑎𝐴)
6344, 59, 62elrabd 2895 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -𝑎 ∈ {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴})
64 eleq1 2240 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑤 → (𝑥𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
6564dcbid 838 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑤 → (DECID 𝑥𝐴DECID -𝑤𝐴))
66 zsupssdc.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥𝐴)
6766ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥𝐴)
68 elfzelz 10011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎) → 𝑤 ∈ ℤ)
6968adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎)) → 𝑤 ∈ ℤ)
7069znegcld 9366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎)) → -𝑤 ∈ ℤ)
7165, 67, 70rspcdva 2846 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎)) → DECID -𝑤𝐴)
7271adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (-𝑛...-𝑎)) → DECID -𝑤𝐴)
7341, 42, 63, 72infssuzcldc 11935 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴})
7438, 73eqeltrd 2254 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴})
7516, 74sselid 3153 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
7613, 75exlimddv 1898 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
77 negeq 8140 . . . . . . 7 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → -𝑛 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
7877eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (-𝑛𝐴 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
79 negeq 8140 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑛 → -𝑤 = -𝑛)
8079eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
8180cbvrabv 2736 . . . . . 6 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ -𝑛𝐴}
8278, 81elrab2 2896 . . . . 5 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
8382simprbi 275 . . . 4 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
8476, 83syl 14 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
85 ssrab2 3240 . . . . . . . . 9 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℤ
8685, 75sselid 3153 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
8786zred 9364 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8887renegcld 8327 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8941, 42, 63, 72infssuzledc 11934 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑎)
9038, 89eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑎)
9187, 53, 90lenegcon2d 8475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
9253, 88, 91lensymd 8069 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑎)
9392ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑎𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑎)
94 breq2 4004 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑎 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
9594notbid 667 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑎 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
9695cbvralv 2703 . . . 4 (∀𝑎𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
9793, 96sylib 122 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
98 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑧 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
9998rspcev 2841 . . . . . 6 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
10099ex 115 . . . . 5 (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
10184, 100syl 14 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
102101ralrimivw 2551 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
103 breq1 4003 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
104103notbid 667 . . . . . 6 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
105104ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
106 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
107106imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
108107ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
109105, 108anbi12d 473 . . . 4 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
110109rspcev 2841 . . 3 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
11184, 97, 102, 110syl12anc 1236 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
1128, 111rexlimddv 2599 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  infcinf 6976  cr 7801   < clt 7982  cle 7983  -cneg 8119  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129
This theorem is referenced by:  suprzcl2dc  11939
  Copyright terms: Public domain W3C validator