Theorem elrab3 2983

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 2982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 931	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823

This theorem is used by:  unimax  3969  undifexmid  4332  frind  4499  ordtriexmidlem2  4669  ordtriexmid  4670  ontriexmidim  4671  ordtri2orexmid  4672  onsucelsucexmid  4679  0elsucexmid  4714  ordpwsucexmid  4719  ordtri2or2exmid  4720  ontri2orexmidim  4721  canth  6039  acexmidlema  6079  acexmidlemb  6080  isnumi  7533  genpelvl  7885  genpelvu  7886  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlem1  8032  caucvgprlem1  8052  sup3exmid  9295  supinfneg  10011  infsupneg  10012  supminfex  10013  ublbneg  10029  negm  10031  infssuzex  10683  hashinfuni  11238  gcddvds  12765  dvdslegcd  12766  bezoutlemsup  12811  uzwodc  12839  lcmval  12866  dvdslcm  12872  isprm2lem  12919  eupth2lem3lem3fi  16916  eupth2lem3lem6fi  16917  eupth2lem3lem4fi  16919  rirrdisj  17291