Theorem elrab3 2974

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 927	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815

This theorem is referenced by:  unimax  3948  undifexmid  4306  frind  4473  ordtriexmidlem2  4642  ordtriexmid  4643  ontriexmidim  4644  ordtri2orexmid  4645  onsucelsucexmid  4652  0elsucexmid  4687  ordpwsucexmid  4692  ordtri2or2exmid  4693  ontri2orexmidim  4694  canth  6001  acexmidlema  6041  acexmidlemb  6042  isnumi  7478  genpelvl  7827  genpelvu  7828  cauappcvgprlemladdru  7971  cauappcvgprlem1  7974  caucvgprlem1  7994  sup3exmid  9231  supinfneg  9927  infsupneg  9928  supminfex  9929  ublbneg  9945  negm  9947  infssuzex  10593  hashinfuni  11140  gcddvds  12659  dvdslegcd  12660  bezoutlemsup  12705  uzwodc  12733  lcmval  12760  dvdslcm  12766  isprm2lem  12813  eupth2lem3lem3fi  16465  eupth2lem3lem6fi  16466  eupth2lem3lem4fi  16468