Theorem elrab3 2894

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 2893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 919	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rab 2464  df-v 2739

This theorem is referenced by:  unimax  3842  undifexmid  4191  frind  4350  ordtriexmidlem2  4517  ordtriexmid  4518  ontriexmidim  4519  ordtri2orexmid  4520  onsucelsucexmid  4527  0elsucexmid  4562  ordpwsucexmid  4567  ordtri2or2exmid  4568  ontri2orexmidim  4569  canth  5824  acexmidlema  5861  acexmidlemb  5862  isnumi  7176  genpelvl  7506  genpelvu  7507  cauappcvgprlemladdru  7650  cauappcvgprlem1  7653  caucvgprlem1  7673  sup3exmid  8908  supinfneg  9589  infsupneg  9590  supminfex  9591  ublbneg  9607  negm  9609  hashinfuni  10748  infssuzex  11940  gcddvds  11954  dvdslegcd  11955  bezoutlemsup  12000  uzwodc  12028  lcmval  12053  dvdslcm  12059  isprm2lem  12106