ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cdivcncfap GIF version

Theorem cdivcncfap 12499
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥))
2 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
43elrab 2793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
54biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
65adantl 273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
76simpld 111 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
86simprd 113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑥 # 0)
92, 7, 8divrecapd 8414 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝑥)))
109mpteq2dva 3958 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))))
11 recclap 8300 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
124, 11sylbi 120 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1312adantl 273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
14 oveq2 5714 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑥))
1514cbvmptv 3964 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑥))
1615a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑥)))
17 eqidd 2101 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)))
18 oveq2 5714 . . . . 5 (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · (1 / 𝑥)))
1913, 16, 17, 18fmptco 5518 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∘ (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))))
20 breq1 3878 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
2120elrab 2793 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
22 recclap 8300 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2321, 22sylbi 120 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2423adantl 273 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2524fmpttd 5507 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ)
26 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑏 # 0))
2726elrab 2793 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0))
28 eqid 2100 . . . . . . . . . . . 12 (inf({1, ((abs‘𝑏) · 𝑒)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑏) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑏) · 𝑒)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑏) / 2))
2928reccn2ap 10921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒))
30 eqidd 2101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)))
31 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑎 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑎))
3231adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) ∧ 𝑤 = 𝑎) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑎))
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
34 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
3534elrab 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
36 recclap 8300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3735, 36sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3837adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3930, 32, 33, 38fvmptd 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
40 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑏 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑏))
4140adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) ∧ 𝑤 = 𝑏) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑏))
42 simpll1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 ∈ ℂ)
43 simpll2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 # 0)
4426, 42, 43elrabd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
4542, 43recclapd 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑏) ∈ ℂ)
4630, 41, 44, 45fvmptd 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏) = (1 / 𝑏))
4739, 46oveq12d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏)) = ((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏)))
4847fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))))
4948breq1d 3885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒 ↔ (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒))
5049imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5150ralbidva 2392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5251rexbidva 2393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5329, 52mpbird 166 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
54533expa 1149 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5554ralrimiva 2464 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5627, 55sylbi 120 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5756rgen 2444 . . . . . 6 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒)
58 ssrab2 3129 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ
59 ssid 3067 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
60 elcncf2 12474 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ) ↔ ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))))
6158, 59, 60mp2an 420 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ) ↔ ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒)))
6225, 57, 61sylanblrc 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
63 eqid 2100 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧))
6463mulc1cncf 12489 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6562, 64cncfco 12491 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∘ (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
6619, 65eqeltrrd 2177 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
6710, 66eqeltrd 2176 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
681, 67syl5eqel 2186 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  {crab 2379  wss 3021  {cpr 3475   class class class wbr 3875  cmpt 3929  ccom 4481  wf 5055  cfv 5059  (class class class)co 5706  infcinf 6785  cc 7498  cr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   · cmul 7505   < clt 7672  cmin 7804   # cap 8209   / cdiv 8293  2c2 8629  +crp 9291  abscabs 10609  cnccncf 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-cncf 12471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator