ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cdivcncfap GIF version

Theorem cdivcncfap 14564
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdivcncfap (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cdivcncfap
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdivcncf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥))
2 simpl 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 breq1 4021 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
43elrab 2908 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
54biimpi 120 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
65adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
76simpld 112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
86simprd 114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑥 # 0)
92, 7, 8divrecapd 8781 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 · (1 / 𝑥)))
109mpteq2dva 4108 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))))
11 recclap 8667 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
124, 11sylbi 121 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1312adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
14 oveq2 5905 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑥))
1514cbvmptv 4114 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑥))
1615a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑥)))
17 eqidd 2190 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)))
18 oveq2 5905 . . . . 5 (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑧) = (𝐴 · (1 / 𝑥)))
1913, 16, 17, 18fmptco 5703 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∘ (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))))
20 breq1 4021 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
2120elrab 2908 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
22 recclap 8667 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2321, 22sylbi 121 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2423adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
2524fmpttd 5692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ)
26 breq1 4021 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑏 # 0))
2726elrab 2908 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0))
28 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (inf({1, ((abs‘𝑏) · 𝑒)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑏) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑏) · 𝑒)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑏) / 2))
2928reccn2ap 11356 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒))
30 eqidd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)))
31 oveq2 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑎 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑎))
3231adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) ∧ 𝑤 = 𝑎) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑎))
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
34 breq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
3534elrab 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
36 recclap 8667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3735, 36sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
3930, 32, 33, 38fvmptd 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
40 oveq2 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑏 → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑏))
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) ∧ 𝑤 = 𝑏) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑏))
42 simpll1 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 ∈ ℂ)
43 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 # 0)
4426, 42, 43elrabd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
4542, 43recclapd 8769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (1 / 𝑏) ∈ ℂ)
4630, 41, 44, 45fvmptd 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏) = (1 / 𝑏))
4739, 46oveq12d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏)) = ((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏)))
4847fveq2d 5538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))))
4948breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → ((abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒 ↔ (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒))
5049imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5150ralbidva 2486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5251rexbidva 2487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑏))) < 𝑒)))
5329, 52mpbird 167 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
54533expa 1205 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5554ralrimiva 2563 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑏 # 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5627, 55sylbi 121 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))
5756rgen 2543 . . . . . 6 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒)
58 ssrab2 3255 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ
59 ssid 3190 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
60 elcncf2 14538 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ) ↔ ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒))))
6158, 59, 60mp2an 426 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ) ↔ ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)):{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑎) − ((𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))‘𝑏))) < 𝑒)))
6225, 57, 61sylanblrc 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
63 eqid 2189 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧))
6463mulc1cncf 14553 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6562, 64cncfco 14555 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑧)) ∘ (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑤))) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
6619, 65eqeltrrd 2267 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 · (1 / 𝑥))) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
6710, 66eqeltrd 2266 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (𝐴 / 𝑥)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
681, 67eqeltrid 2276 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  {crab 2472  wss 3144  {cpr 3608   class class class wbr 4018  cmpt 4079  ccom 4648  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5897  infcinf 7013  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842  1c1 7843   · cmul 7847   < clt 8023  cmin 8159   # cap 8569   / cdiv 8660  2c2 9001  +crp 9685  abscabs 11041  cnccncf 14534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-cncf 14535
This theorem is referenced by:  dvrecap  14654
  Copyright terms: Public domain W3C validator