Theorem ennnfonelemj0 13021

Description: Lemma for ennnfone 13045. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
3	2	iftruei 3611	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4		0ex 4216	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6		eqeq1 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7		fvoveq1 6040	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(0 − 1)))
8	6, 7	ifbieq2d 3630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	8, 9	fvmptg 5722	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
11	1, 5, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1)))
12	11, 3	eqtri 2252	. 2 ⊢ (𝐽‘0) = ∅
13		dmeq 4931	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
14	13	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15		fun0 5388	. . . . 5 ⊢ Fun ∅
16		0ss 3533	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18		omex 4691	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
20		focdmex 6276	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		elpmg 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
23	21, 18, 22	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω))
25		dm0 4945	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
26		peano1 4692	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
27	25, 26	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ dom ∅ ∈ ω
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
29	14, 24, 28	elrabd 2964	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
30	12, 29	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514  Vcvv 2802   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605  {csn 3669  ⟨cop 3672   ↦ cmpt 4150  suc csuc 4462  ωcom 4688   × cxp 4723  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725   “ cima 4728  Fun wfun 5320  –onto→wfo 5324  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ∈ cmpo 6019  freccfrec 6555   ↑_pm cpm 6817  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pm 6819  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  13024  ennnfonelem0  13025  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemom  13028