ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemj0 GIF version

Theorem ennnfonelemj0 12455
Description: Lemma for ennnfone 12479. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemj0 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0
StepHypRef Expression
1 0nn0 9222 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2189 . . . . . 6 0 = 0
32iftruei 3555 . . . . 5 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4 0ex 4145 . . . . 5 ∅ ∈ V
53, 4eqeltri 2262 . . . 4 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6 eqeq1 2196 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7 fvoveq1 5920 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(0 − 1)))
86, 7ifbieq2d 3573 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
9 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
108, 9fvmptg 5613 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
111, 5, 10mp2an 426 . . 3 (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1)))
1211, 3eqtri 2210 . 2 (𝐽‘0) = ∅
13 dmeq 4845 . . . 4 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
1413eleq1d 2258 . . 3 (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15 fun0 5293 . . . . 5 Fun ∅
16 0ss 3476 . . . . 5 ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
1715, 16pm3.2i 272 . . . 4 (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18 omex 4610 . . . . . 6 ω ∈ V
19 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
20 focdmex 6141 . . . . . 6 (ω ∈ V → (𝐹:ω–onto𝐴𝐴 ∈ V))
2118, 19, 20mpsyl 65 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 elpmg 6691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2321, 18, 22sylancl 413 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2417, 23mpbiri 168 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴pm ω))
25 dm0 4859 . . . . 5 dom ∅ = ∅
26 peano1 4611 . . . . 5 ∅ ∈ ω
2725, 26eqeltri 2262 . . . 4 dom ∅ ∈ ω
2827a1i 9 . . 3 (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
2914, 24, 28elrabd 2910 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
3012, 29eqeltrid 2276 1 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  wral 2468  wrex 2469  {crab 2472  Vcvv 2752  cun 3142  wss 3144  c0 3437  ifcif 3549  {csn 3607  cop 3610  cmpt 4079  suc csuc 4383  ωcom 4607   × cxp 4642  ccnv 4643  dom cdm 4644  cima 4647  Fun wfun 5229  ontowfo 5233  cfv 5235  (class class class)co 5897  cmpo 5899  freccfrec 6416  pm cpm 6676  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845  cmin 8159  0cn0 9207  cz 9284  seqcseq 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-mulcl 7940  ax-i2m1 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pm 6678  df-n0 9208
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12458  ennnfonelem0  12459  ennnfonelemp1  12460  ennnfonelemom  12462
  Copyright terms: Public domain W3C validator