Theorem ennnfonelemj0 12455

Description: Lemma for ennnfone 12479. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
3	2	iftruei 3555	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4		0ex 4145	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2262	. . . 4 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6		eqeq1 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7		fvoveq1 5920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(0 − 1)))
8	6, 7	ifbieq2d 3573	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	8, 9	fvmptg 5613	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
11	1, 5, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1)))
12	11, 3	eqtri 2210	. 2 ⊢ (𝐽‘0) = ∅
13		dmeq 4845	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
14	13	eleq1d 2258	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15		fun0 5293	. . . . 5 ⊢ Fun ∅
16		0ss 3476	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18		omex 4610	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
20		focdmex 6141	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		elpmg 6691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
23	21, 18, 22	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω))
25		dm0 4859	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
26		peano1 4611	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
27	25, 26	eqeltri 2262	. . . 4 ⊢ dom ∅ ∈ ω
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
29	14, 24, 28	elrabd 2910	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
30	12, 29	eqeltrid 2276	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  {crab 2472  Vcvv 2752   ∪ cun 3142   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  ifcif 3549  {csn 3607  ⟨cop 3610   ↦ cmpt 4079  suc csuc 4383  ωcom 4607   × cxp 4642  ^◡ccnv 4643  dom cdm 4644   “ cima 4647  Fun wfun 5229  –onto→wfo 5233  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897   ∈ cmpo 5899  freccfrec 6416   ↑_pm cpm 6676  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   − cmin 8159  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284  seqcseq 10478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-mulcl 7940  ax-i2m1 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pm 6678  df-n0 9208

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12458  ennnfonelem0  12459  ennnfonelemp1  12460  ennnfonelemom  12462