Theorem ennnfonelemj0 13152

Description: Lemma for ennnfone 13176. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
3	2	iftruei 3628	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4		0ex 4237	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2305	. . . 4 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6		eqeq1 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7		fvoveq1 6073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(0 − 1)))
8	6, 7	ifbieq2d 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	8, 9	fvmptg 5753	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
11	1, 5, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1)))
12	11, 3	eqtri 2253	. 2 ⊢ (𝐽‘0) = ∅
13		dmeq 4956	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
14	13	eleq1d 2301	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15		fun0 5414	. . . . 5 ⊢ Fun ∅
16		0ss 3547	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18		omex 4715	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
20		focdmex 6308	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐴 ∈ V))
21	18, 19, 20	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		elpmg 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
23	21, 18, 22	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
24	17, 23	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω))
25		dm0 4970	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
26		peano1 4716	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
27	25, 26	eqeltri 2305	. . . 4 ⊢ dom ∅ ∈ ω
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
29	14, 24, 28	elrabd 2975	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
30	12, 29	eqeltrid 2319	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524  Vcvv 2813   ∪ cun 3209   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  ifcif 3620  {csn 3689  ⟨cop 3692   ↦ cmpt 4171  suc csuc 4486  ωcom 4712   × cxp 4747  ^◡ccnv 4748  dom cdm 4749   “ cima 4752  Fun wfun 5346  –onto→wfo 5350  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ∈ cmpo 6052  freccfrec 6621   ↑_pm cpm 6883  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pm 6885  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  13155  ennnfonelem0  13156  ennnfonelemp1  13157  ennnfonelemom  13159