Theorem ennnfonelemj0 11759

Description: Lemma for ennnfone 11783. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemj0	⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 8896	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2115	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
3	2	iftruei 3446	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4		0ex 4015	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2187	. . . 4 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6		eqeq1 2121	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7		fvoveq1 5751	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(0 − 1)))
8	6, 7	ifbieq2d 3462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
10	8, 9	fvmptg 5451	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
11	1, 5, 10	mp2an 420	. . 3 ⊢ (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1)))
12	11, 3	eqtri 2135	. 2 ⊢ (𝐽‘0) = ∅
13		dmeq 4699	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
14	13	eleq1d 2183	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15		fun0 5139	. . . . 5 ⊢ Fun ∅
16		0ss 3367	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
17	15, 16	pm3.2i 268	. . . 4 ⊢ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18		omex 4467	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
19		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
20		focdmex 10426	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐹:ω–onto→𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21	18, 19, 20	sylancr 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		elpmg 6512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
23	21, 18, 22	sylancl 407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
24	17, 23	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑pm ω))
25		dm0 4713	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
26		peano1 4468	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
27	25, 26	eqeltri 2187	. . . 4 ⊢ dom ∅ ∈ ω
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
29	14, 24, 28	elrabd 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
30	12, 29	syl5eqel 2201	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ∀wral 2390  ∃wrex 2391  {crab 2394  Vcvv 2657   ∪ cun 3035   ⊆ wss 3037  ∅c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  ⟨cop 3496   ↦ cmpt 3949  suc csuc 4247  ωcom 4464   × cxp 4497  ^◡ccnv 4498  dom cdm 4499   “ cima 4502  Fun wfun 5075  –onto→wfo 5079  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728   ∈ cmpo 5730  freccfrec 6241   ↑_pm cpm 6497  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   − cmin 7856  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958  seqcseq 10111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-1cn 7638  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-mulcl 7643  ax-i2m1 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pm 6499  df-n0 8882

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  11762  ennnfonelem0  11763  ennnfonelemp1  11764  ennnfonelemom  11766