ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemj0 GIF version

Theorem ennnfonelemj0 12415
Description: Lemma for ennnfone 12439. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemj0 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0
StepHypRef Expression
1 0nn0 9204 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2187 . . . . . 6 0 = 0
32iftruei 3552 . . . . 5 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4 0ex 4142 . . . . 5 ∅ ∈ V
53, 4eqeltri 2260 . . . 4 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6 eqeq1 2194 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7 fvoveq1 5911 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(0 − 1)))
86, 7ifbieq2d 3570 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
9 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
108, 9fvmptg 5605 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
111, 5, 10mp2an 426 . . 3 (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1)))
1211, 3eqtri 2208 . 2 (𝐽‘0) = ∅
13 dmeq 4839 . . . 4 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
1413eleq1d 2256 . . 3 (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15 fun0 5286 . . . . 5 Fun ∅
16 0ss 3473 . . . . 5 ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
1715, 16pm3.2i 272 . . . 4 (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18 omex 4604 . . . . . 6 ω ∈ V
19 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
20 focdmex 6129 . . . . . 6 (ω ∈ V → (𝐹:ω–onto𝐴𝐴 ∈ V))
2118, 19, 20mpsyl 65 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 elpmg 6677 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2321, 18, 22sylancl 413 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2417, 23mpbiri 168 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴pm ω))
25 dm0 4853 . . . . 5 dom ∅ = ∅
26 peano1 4605 . . . . 5 ∅ ∈ ω
2725, 26eqeltri 2260 . . . 4 dom ∅ ∈ ω
2827a1i 9 . . 3 (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
2914, 24, 28elrabd 2907 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
3012, 29eqeltrid 2274 1 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1363  wcel 2158  wne 2357  wral 2465  wrex 2466  {crab 2469  Vcvv 2749  cun 3139  wss 3141  c0 3434  ifcif 3546  {csn 3604  cop 3607  cmpt 4076  suc csuc 4377  ωcom 4601   × cxp 4636  ccnv 4637  dom cdm 4638  cima 4641  Fun wfun 5222  ontowfo 5226  cfv 5228  (class class class)co 5888  cmpo 5890  freccfrec 6404  pm cpm 6662  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827  cmin 8141  0cn0 9189  cz 9266  seqcseq 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-mulcl 7922  ax-i2m1 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pm 6664  df-n0 9190
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12418  ennnfonelem0  12419  ennnfonelemp1  12420  ennnfonelemom  12422
  Copyright terms: Public domain W3C validator