Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemj0 GIF version

Theorem ennnfonelemj0 11948
 Description: Lemma for ennnfone 11972. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemj0 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0
StepHypRef Expression
1 0nn0 9015 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2140 . . . . . 6 0 = 0
32iftruei 3484 . . . . 5 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4 0ex 4062 . . . . 5 ∅ ∈ V
53, 4eqeltri 2213 . . . 4 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6 eqeq1 2147 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7 fvoveq1 5804 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(0 − 1)))
86, 7ifbieq2d 3500 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
9 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
108, 9fvmptg 5504 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
111, 5, 10mp2an 423 . . 3 (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1)))
1211, 3eqtri 2161 . 2 (𝐽‘0) = ∅
13 dmeq 4746 . . . 4 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
1413eleq1d 2209 . . 3 (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15 fun0 5188 . . . . 5 Fun ∅
16 0ss 3405 . . . . 5 ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
1715, 16pm3.2i 270 . . . 4 (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18 omex 4514 . . . . . 6 ω ∈ V
19 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
20 focdmex 10564 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐹:ω–onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
2118, 19, 20sylancr 411 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 elpmg 6565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2321, 18, 22sylancl 410 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2417, 23mpbiri 167 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴pm ω))
25 dm0 4760 . . . . 5 dom ∅ = ∅
26 peano1 4515 . . . . 5 ∅ ∈ ω
2725, 26eqeltri 2213 . . . 4 dom ∅ ∈ ω
2827a1i 9 . . 3 (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
2914, 24, 28elrabd 2845 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
3012, 29eqeltrid 2227 1 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  {crab 2421  Vcvv 2689   ∪ cun 3073   ⊆ wss 3075  ∅c0 3367  ifcif 3478  {csn 3531  ⟨cop 3534   ↦ cmpt 3996  suc csuc 4294  ωcom 4511   × cxp 4544  ◡ccnv 4545  dom cdm 4546   “ cima 4549  Fun wfun 5124  –onto→wfo 5128  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781   ∈ cmpo 5783  freccfrec 6294   ↑pm cpm 6550  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   − cmin 7956  ℕ0cn0 9000  ℤcz 9077  seqcseq 10248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-mulcl 7741  ax-i2m1 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pm 6552  df-n0 9001 This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  11951  ennnfonelem0  11952  ennnfonelemp1  11953  ennnfonelemom  11955
 Copyright terms: Public domain W3C validator