ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemj0 GIF version

Theorem ennnfonelemj0 11759
Description: Lemma for ennnfone 11783. Initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemj0 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑔,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemj0
StepHypRef Expression
1 0nn0 8896 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2115 . . . . . 6 0 = 0
32iftruei 3446 . . . . 5 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) = ∅
4 0ex 4015 . . . . 5 ∅ ∈ V
53, 4eqeltri 2187 . . . 4 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
6 eqeq1 2121 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
7 fvoveq1 5751 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(0 − 1)))
86, 7ifbieq2d 3462 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
9 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
108, 9fvmptg 5451 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
111, 5, 10mp2an 420 . . 3 (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1)))
1211, 3eqtri 2135 . 2 (𝐽‘0) = ∅
13 dmeq 4699 . . . 4 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
1413eleq1d 2183 . . 3 (𝑔 = ∅ → (dom 𝑔 ∈ ω ↔ dom ∅ ∈ ω))
15 fun0 5139 . . . . 5 Fun ∅
16 0ss 3367 . . . . 5 ∅ ⊆ (ω × 𝐴)
1715, 16pm3.2i 268 . . . 4 (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))
18 omex 4467 . . . . . 6 ω ∈ V
19 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
20 focdmex 10426 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐹:ω–onto𝐴) → 𝐴 ∈ V)
2118, 19, 20sylancr 408 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 elpmg 6512 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2321, 18, 22sylancl 407 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐴pm ω) ↔ (Fun ∅ ∧ ∅ ⊆ (ω × 𝐴))))
2417, 23mpbiri 167 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴pm ω))
25 dm0 4713 . . . . 5 dom ∅ = ∅
26 peano1 4468 . . . . 5 ∅ ∈ ω
2725, 26eqeltri 2187 . . . 4 dom ∅ ∈ ω
2827a1i 9 . . 3 (𝜑 → dom ∅ ∈ ω)
2914, 24, 28elrabd 2811 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
3012, 29syl5eqel 2201 1 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 802   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2282  wral 2390  wrex 2391  {crab 2394  Vcvv 2657  cun 3035  wss 3037  c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  cop 3496  cmpt 3949  suc csuc 4247  ωcom 4464   × cxp 4497  ccnv 4498  dom cdm 4499  cima 4502  Fun wfun 5075  ontowfo 5079  cfv 5081  (class class class)co 5728  cmpo 5730  freccfrec 6241  pm cpm 6497  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550  cmin 7856  0cn0 8881  cz 8958  seqcseq 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-1cn 7638  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-mulcl 7643  ax-i2m1 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pm 6499  df-n0 8882
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  11762  ennnfonelem0  11763  ennnfonelemp1  11764  ennnfonelemom  11766
  Copyright terms: Public domain W3C validator