Theorem eqbrtrrid 4166

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrid.1	⊢ 𝐵 = 𝐴
eqbrtrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrrid.1	. 2 ⊢ 𝐵 = 𝐴
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr3g 4163	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  enpr1g  7085  pr2cv1  7542  endjudisj  7567  recexprlem1ssl  8001  addgt0  8778  addgegt0  8779  addgtge0  8780  addge0  8781  expge1  11028  expcnv  12290  fprodge1  12425  cos12dec  12554  3dvds  12650  bitsinv1lem  12747  ncoprmgcdne1b  12886  phicl2  13015  ballotfilemfrcn0  13325  exmidunben  13369  prdsvalstrd  13673  znidomb  15077  sin0pilem2  15975  cosq23lt0  16026  cos0pilt1  16046  rplogcl  16075  logge0  16076  logdivlti  16077  ppiqnncl  16244  chtqrpcl  16245  chtqub  16262  mersenne  16263  perfectlem2  16266  bpos1lem  16275  bposlem1  16277  bposlem2  16278  bposlem3  16279  bposlem4  16280  bposlem5  16281  bposlem6  16282  lgseisen  16364  lgsquadlem1  16367