Theorem eqbrtrrid 4167

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrid.1	⊢ 𝐵 = 𝐴
eqbrtrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrrid.1	. 2 ⊢ 𝐵 = 𝐴
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr3g 4164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  enpr1g  7091  pr2cv1  7548  endjudisj  7573  recexprlem1ssl  8007  addgt0  8784  addgegt0  8785  addgtge0  8786  addge0  8787  expge1  11034  expcnv  12296  fprodge1  12431  cos12dec  12560  3dvds  12656  bitsinv1lem  12753  ncoprmgcdne1b  12892  phicl2  13021  ballotfilemfrcn0  13331  exmidunben  13375  prdsvalstrd  13679  znidomb  15102  sin0pilem2  16042  cosq23lt0  16093  cos0pilt1  16113  rplogcl  16142  logge0  16143  logdivlti  16144  ppiqnncl  16311  chtqrpcl  16312  chtqub  16329  mersenne  16330  perfectlem2  16333  bpos1lem  16342  bposlem1  16344  bposlem2  16345  bposlem3  16346  bposlem4  16347  bposlem5  16348  bposlem6  16349  lgseisen  16431  lgsquadlem1  16434