Theorem eqbrtrrid 4167

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrid.1	⊢ 𝐵 = 𝐴
eqbrtrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrrid.1	. 2 ⊢ 𝐵 = 𝐴
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr3g 4164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  enpr1g  7090  pr2cv1  7548  endjudisj  7573  recexprlem1ssl  8007  addgt0  8784  addgegt0  8785  addgtge0  8786  addge0  8787  expge1  11035  expcnv  12297  fprodge1  12432  cos12dec  12561  3dvds  12657  bitsinv1lem  12754  ncoprmgcdne1b  12893  phicl2  13022  ballotfilemfrcn0  13332  exmidunben  13376  prdsvalstrd  13680  znidomb  15103  sin0pilem2  16021  cosq23lt0  16072  cos0pilt1  16092  rplogcl  16121  logge0  16122  logdivlti  16123  ppiqnncl  16290  chtqrpcl  16291  chtqub  16308  mersenne  16309  perfectlem2  16312  bpos1lem  16321  bposlem1  16323  bposlem2  16324  bposlem3  16325  bposlem4  16326  bposlem5  16327  bposlem6  16328  lgseisen  16410  lgsquadlem1  16413