Theorem eqbrtrrid 4166

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 17-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrid.1	⊢ 𝐵 = 𝐴
eqbrtrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrrid.1	. 2 ⊢ 𝐵 = 𝐴
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr3g 4163	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  enpr1g  7085  pr2cv1  7542  endjudisj  7567  recexprlem1ssl  8001  addgt0  8778  addgegt0  8779  addgtge0  8780  addge0  8781  expge1  11027  expcnv  12289  fprodge1  12424  cos12dec  12553  3dvds  12649  bitsinv1lem  12746  ncoprmgcdne1b  12885  phicl2  13014  ballotfilemfrcn0  13324  exmidunben  13368  prdsvalstrd  13671  znidomb  15044  sin0pilem2  15936  cosq23lt0  15987  cos0pilt1  16006  rplogcl  16034  logge0  16035  logdivlti  16036  ppiqnncl  16200  chtqrpcl  16201  chtqub  16218  mersenne  16219  perfectlem2  16222  bpos1lem  16231  bposlem1  16233  bposlem2  16234  bposlem3  16235  bposlem4  16236  bposlem5  16237  lgseisen  16315  lgsquadlem1  16318