Theorem logdivlti 15608

Description: The log𝑥 / 𝑥 function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
logdivlti	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Proof of Theorem logdivlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simpl3 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ 𝐴)
3		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4		ere 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ
5		simpl1 1026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		lelttr 8268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
7	4, 5, 1, 6	mp3an2i 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
8	2, 3, 7	mp2and 433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵)
9		epos 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
10		0re 8179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 8253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 1, 11	mp3an12i 1377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	8, 13	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
15	1, 14	elrpd 9928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
16		ltletr 8269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
17	10, 4, 5, 16	mp3an12i 1377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
18	9, 17	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
19	2, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
20	5, 19	elrpd 9928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21	15, 20	rpdivcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+)
22		relogcl 15589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1, 20	rerpdivcld 9963	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
25		1re 8178	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		resubcl 8443	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
28		relogcl 15589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	20, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 8210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		reeflog 15590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
32	21, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
33		ax-1cn 8125	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
34	24	recnd 8208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
35		pncan3 8387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
36	33, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
37	32, 36	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
38	5	recnd 8208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	mulid2d 8198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
40	39, 3	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) < 𝐵)
41		1red 8194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
42		ltmuldiv 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
43	41, 1, 5, 19, 42	syl112anc 1277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
44	40, 43	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < (𝐵 / 𝐴))
45		difrp 9927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
46	25, 24, 45	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
48		efgt1p 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+ → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
50	37, 49	eqbrtrd 4110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
51		eflt 15502	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
52	23, 27, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
53	50, 52	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
54	27	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55	54	mulridd 8196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
56		df-e 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ e = (exp‘1)
57		reeflog 15590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
58	20, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
59	2, 58	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
60	56, 59	eqbrtrrid 4124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
61		efle 15503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
62	25, 29, 61	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
63	60, 62	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (log‘𝐴))
64		posdif 8635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
65	25, 24, 64	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
66	44, 65	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
67		lemul2 9037	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
68	41, 29, 27, 66, 67	syl112anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
69	63, 68	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
70	55, 69	eqbrtrrd 4112	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
71	23, 27, 30, 53, 70	ltletrd 8603	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
72		relogdiv 15597	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
73	15, 20, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
74		1cnd 8195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
75	29	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
76	34, 74, 75	subdird 8594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))))
77	1	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	20	rpap0d 9937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 # 0)
79	77, 38, 75, 78	div32apd 8994	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) = (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
80	75	mulid2d 8198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
81	79, 80	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
82	76, 81	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
83	71, 73, 82	3brtr3d 4119	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
84		relogcl 15589	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
85	15, 84	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
86	29, 20	rerpdivcld 9963	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
87	1, 86	remulcld 8210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∈ ℝ)
88	85, 87, 29	ltsub1d 8734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ↔ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴))))
89	83, 88	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
90	85, 86, 15	ltdivmuld 9983	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) ↔ (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴))))
91	89, 90	mpbird 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℝ⁺crp 9888  expce 12205  eceu 12206  logclog 15583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-e 12212  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-ntr 14823  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-tx 14980  df-cncf 15298  df-limced 15383  df-dvap 15384  df-relog 15585

This theorem is referenced by: (None)