Theorem logdivlti 15143

Description: The log𝑥 / 𝑥 function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
logdivlti	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Proof of Theorem logdivlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simpl3 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ 𝐴)
3		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4		ere 11838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ
5		simpl1 1002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		lelttr 8118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
7	4, 5, 1, 6	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
8	2, 3, 7	mp2and 433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵)
9		epos 11949	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
10		0re 8029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 8103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 1, 11	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	8, 13	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
15	1, 14	elrpd 9771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
16		ltletr 8119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
17	10, 4, 5, 16	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
18	9, 17	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
19	2, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
20	5, 19	elrpd 9771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21	15, 20	rpdivcld 9792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+)
22		relogcl 15124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1, 20	rerpdivcld 9806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
25		1re 8028	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		resubcl 8293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
28		relogcl 15124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	20, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 8060	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		reeflog 15125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
32	21, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
33		ax-1cn 7975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
34	24	recnd 8058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
35		pncan3 8237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
36	33, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
37	32, 36	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
38	5	recnd 8058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	mulid2d 8048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
40	39, 3	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) < 𝐵)
41		1red 8044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
42		ltmuldiv 8904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
43	41, 1, 5, 19, 42	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
44	40, 43	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < (𝐵 / 𝐴))
45		difrp 9770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
46	25, 24, 45	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
48		efgt1p 11864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+ → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
50	37, 49	eqbrtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
51		eflt 15037	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
52	23, 27, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
53	50, 52	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
54	27	recnd 8058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55	54	mulridd 8046	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
56		df-e 11817	. . . . . . . . 9 ⊢ e = (exp‘1)
57		reeflog 15125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
58	20, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
59	2, 58	breqtrrd 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
60	56, 59	eqbrtrrid 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
61		efle 15038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
62	25, 29, 61	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
63	60, 62	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (log‘𝐴))
64		posdif 8485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
65	25, 24, 64	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
66	44, 65	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
67		lemul2 8887	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
68	41, 29, 27, 66, 67	syl112anc 1253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
69	63, 68	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
70	55, 69	eqbrtrrd 4058	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
71	23, 27, 30, 53, 70	ltletrd 8453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
72		relogdiv 15132	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
73	15, 20, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
74		1cnd 8045	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
75	29	recnd 8058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
76	34, 74, 75	subdird 8444	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))))
77	1	recnd 8058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	20	rpap0d 9780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 # 0)
79	77, 38, 75, 78	div32apd 8844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) = (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
80	75	mulid2d 8048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
81	79, 80	oveq12d 5941	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
82	76, 81	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
83	71, 73, 82	3brtr3d 4065	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
84		relogcl 15124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
85	15, 84	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
86	29, 20	rerpdivcld 9806	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
87	1, 86	remulcld 8060	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∈ ℝ)
88	85, 87, 29	ltsub1d 8584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ↔ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴))))
89	83, 88	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
90	85, 86, 15	ltdivmuld 9826	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) ↔ (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴))))
91	89, 90	mpbird 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℂcc 7880  ℝcr 7881  0cc0 7882  1c1 7883   + caddc 7885   · cmul 7887   < clt 8064   ≤ cle 8065   − cmin 8200   / cdiv 8702  ℝ⁺crp 9731  expce 11810  eceu 11811  logclog 15118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002  ax-pre-suploc 8003  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6137  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-map 6711  df-pm 6712  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-xadd 9851  df-ioo 9970  df-ico 9972  df-icc 9973  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-bc 10843  df-ihash 10871  df-shft 10983  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-e 11817  df-rest 12929  df-topgen 12948  df-psmet 14125  df-xmet 14126  df-met 14127  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-top 14260  df-topon 14273  df-bases 14305  df-ntr 14358  df-cn 14450  df-cnp 14451  df-tx 14515  df-cncf 14833  df-limced 14918  df-dvap 14919  df-relog 15120

This theorem is referenced by: (None)