ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logdivlti GIF version

Theorem logdivlti 14272
Description: The log๐‘ฅ / ๐‘ฅ function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
logdivlti (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))

Proof of Theorem logdivlti
StepHypRef Expression
1 simpl2 1001 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 simpl3 1002 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e โ‰ค ๐ด)
3 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
4 ere 11677 . . . . . . . . . . 11 e โˆˆ โ„
5 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 lelttr 8045 . . . . . . . . . . 11 ((e โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((e โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต))
74, 5, 1, 6mp3an2i 1342 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((e โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต))
82, 3, 7mp2and 433 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต)
9 epos 11787 . . . . . . . . . 10 0 < e
10 0re 7956 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
11 lttr 8030 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < e โˆง e < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1210, 4, 1, 11mp3an12i 1341 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((0 < e โˆง e < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
139, 12mpani 430 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (e < ๐ต โ†’ 0 < ๐ต))
148, 13mpd 13 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
151, 14elrpd 9692 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 ltletr 8046 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < e โˆง e โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
1710, 4, 5, 16mp3an12i 1341 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((0 < e โˆง e โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
189, 17mpani 430 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (e โ‰ค ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
192, 18mpd 13 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ด)
205, 19elrpd 9692 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2115, 20rpdivcld 9713 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+)
22 relogcl 14253 . . . . . 6 ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„)
2321, 22syl 14 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„)
241, 20rerpdivcld 9727 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„)
25 1re 7955 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
26 resubcl 8220 . . . . . 6 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2724, 25, 26sylancl 413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
28 relogcl 14253 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2920, 28syl 14 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3027, 29remulcld 7987 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 reeflog 14254 . . . . . . . . 9 ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (๐ต / ๐ด))
3221, 31syl 14 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (๐ต / ๐ด))
33 ax-1cn 7903 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3424recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 pncan3 8164 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) = (๐ต / ๐ด))
3633, 34, 35sylancr 414 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) = (๐ต / ๐ด))
3732, 36eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
385recnd 7985 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938mulid2d 7975 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4039, 3eqbrtrd 4025 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ด) < ๐ต)
41 1red 7971 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
42 ltmuldiv 8830 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ†” 1 < (๐ต / ๐ด)))
4341, 1, 5, 19, 42syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ†” 1 < (๐ต / ๐ด)))
4440, 43mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ต / ๐ด))
45 difrp 9691 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
4625, 24, 45sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
4744, 46mpbid 147 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
48 efgt1p 11703 . . . . . . . 8 (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
4947, 48syl 14 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
5037, 49eqbrtrd 4025 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
51 eflt 14166 . . . . . . 7 (((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))))
5223, 27, 51syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))))
5350, 52mpbird 167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
5427recnd 7985 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5554mulridd 7973 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
56 df-e 11656 . . . . . . . . 9 e = (expโ€˜1)
57 reeflog 14254 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
5820, 57syl 14 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
592, 58breqtrrd 4031 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด)))
6056, 59eqbrtrrid 4039 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด)))
61 efle 14167 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6225, 29, 61sylancr 414 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6360, 62mpbird 167 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค (logโ€˜๐ด))
64 posdif 8411 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
6525, 24, 64sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
6644, 65mpbid 147 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
67 lemul2 8813 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด))))
6841, 29, 27, 66, 67syl112anc 1242 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด))))
6963, 68mpbid 147 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
7055, 69eqbrtrrd 4027 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
7123, 27, 30, 53, 70ltletrd 8379 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
72 relogdiv 14261 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7315, 20, 72syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
74 1cnd 7972 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7529recnd 7985 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7634, 74, 75subdird 8371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) = (((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 ยท (logโ€˜๐ด))))
771recnd 7985 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7820rpap0d 9701 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด # 0)
7977, 38, 75, 78div32apd 8770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)))
8075mulid2d 7975 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜๐ด))
8179, 80oveq12d 5892 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 ยท (logโ€˜๐ด))) = ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
8276, 81eqtrd 2210 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) = ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
8371, 73, 823brtr3d 4034 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) < ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
84 relogcl 14253 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
8515, 84syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
8629, 20rerpdivcld 9727 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
871, 86remulcld 7987 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8885, 87, 29ltsub1d 8510 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โ†” ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) < ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด))))
8983, 88mpbird 167 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)))
9085, 86, 15ltdivmuld 9747 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด) โ†” (logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))))
9189, 90mpbird 167 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„+crp 9652  expce 11649  eceu 11650  logclog 14247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-ico 9893  df-icc 9894  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-bc 10727  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-e 11656  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-cncf 14028  df-limced 14095  df-dvap 14096  df-relog 14249
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator