ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phicl2 GIF version

Theorem phicl2 11903
Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phicl2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phival 11902 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2 phivalfi 11901 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
3 hashcl 10541 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
54nn0zd 9185 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
6 1z 9094 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7 hashsng 10558 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{1}) = 1
9 eluzfz1 9825 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
10 nnuz 9375 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10eleq2s 2234 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
12 nnz 9087 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 1gcd 11693 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
15 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
1615eqeq1d 2148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
1716elrab 2840 . . . . . . . 8 (1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ (1 gcd 𝑁) = 1))
1811, 14, 17sylanbrc 413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
1918snssd 3665 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
20 ssdomg 6672 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
212, 19, 20sylc 62 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
22 1nn 8745 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
23 snfig 6708 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → {1} ∈ Fin)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 {1} ∈ Fin
25 fihashdom 10563 . . . . . 6 (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2624, 2, 25sylancr 410 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2721, 26mpbird 166 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
288, 27eqbrtrrid 3964 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
29 1zzd 9095 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3029, 12fzfigd 10218 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
31 ssrab2 3182 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
32 ssdomg 6672 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∈ Fin → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
3330, 31, 32mpisyl 1422 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
34 fihashdom 10563 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
352, 30, 34syl2anc 408 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
3633, 35mpbird 166 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
37 nnnn0 8998 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
38 hashfz1 10543 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
3937, 38syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
4036, 39breqtrd 3954 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
41 elfz1 9809 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
426, 12, 41sylancr 410 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
435, 28, 40, 42mpbir3and 1164 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
441, 43eqeltrd 2216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071  {csn 3527   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cdom 6633  Fincfn 6634  1c1 7635  cle 7815  cn 8734  0cn0 8991  cz 9068  cuz 9340  ...cfz 9804  chash 10535   gcd cgcd 11648  ϕcphi 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-fl 10057  df-mod 10110  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-ihash 10536  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-dvds 11507  df-gcd 11649  df-phi 11900
This theorem is referenced by:  phicl  11904  phi1  11908
  Copyright terms: Public domain W3C validator