ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlem1ssl GIF version

Theorem recexprlem1ssl 7652
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of ๐ด ยทP ๐ต. Lemma for recexpr 7657. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜1P) โІ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 7574 . . . 4 (1st โ€˜1P) = {๐‘ค โˆฃ ๐‘ค <Q 1Q}
21abeq2i 2300 . . 3 (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” ๐‘ค <Q 1Q)
3 rec1nq 7414 . . . . . . 7 (*Qโ€˜1Q) = 1Q
4 ltrnqi 7440 . . . . . . 7 (๐‘ค <Q 1Q โ†’ (*Qโ€˜1Q) <Q (*Qโ€˜๐‘ค))
53, 4eqbrtrrid 4054 . . . . . 6 (๐‘ค <Q 1Q โ†’ 1Q <Q (*Qโ€˜๐‘ค))
6 prop 7494 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
7 prmuloc2 7586 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง 1Q <Q (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
86, 7sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1Q <Q (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
95, 8sylan2 286 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
10 prnmaxl 7507 . . . . . . . 8 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฃ <Q ๐‘ง)
116, 10sylan 283 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฃ <Q ๐‘ง)
1211ad2ant2r 509 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฃ <Q ๐‘ง)
13 elprnql 7500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
146, 13sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
1514ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
16153adant3 1019 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
17 simp1r 1024 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)
18 ltrelnq 7384 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q โІ (Q ร— Q)
1918brel 4693 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค <Q 1Q โ†’ (๐‘ค โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q))
2019simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค <Q 1Q โ†’ ๐‘ค โˆˆ Q)
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค โˆˆ Q)
22 simp3 1001 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฃ <Q ๐‘ง)
23 simp2r 1026 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))
24 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
25 ltrnqi 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ (*Qโ€˜๐‘ง) <Q (*Qโ€˜๐‘ฃ))
26 ltmnqg 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘” โ†” (โ„Ž ยทQ ๐‘“) <Q (โ„Ž ยทQ ๐‘”)))
2726adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘” โ†” (โ„Ž ยทQ ๐‘“) <Q (โ„Ž ยทQ ๐‘”)))
28 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ฃ <Q ๐‘ง)
2918brel 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q))
3029simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
31 recclnq 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q)
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q)
33 recclnq 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฃ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ Q)
3433ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ Q)
35 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ Q)
36 mulcomnqg 7402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ ๐‘“))
3736adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ ๐‘“))
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 6062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) <Q (*Qโ€˜๐‘ฃ) โ†” ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)))
3925, 38imbitrid 154 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)))
40 mulcomnqg 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฃ)) = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ))
4133, 40mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฃ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฃ)) = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ))
42 recidnq 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฃ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฃ)) = 1Q)
4341, 42eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฃ โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ) = 1Q)
44 recidnq 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) = 1Q)
4543, 44oveqan12d 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (1Q ยทQ 1Q))
4645adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (1Q ยทQ 1Q))
47 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ Q)
48 mulassnqg 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘” ยทQ โ„Ž)))
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘” ยทQ โ„Ž)))
50 recclnq 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q)
5135, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q)
52 mulclnq 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
5352adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โˆง (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
5434, 47, 35, 37, 49, 51, 53caov4d 6077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ฃ) ยทQ (๐‘ค ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
5546, 54eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (1Q ยทQ 1Q) = (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))))
56 1nq 7385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1Q โˆˆ Q
57 mulidnq 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1Q โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ 1Q) = 1Q)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q ยทQ 1Q) = 1Q
5955, 58eqtr3di 2237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q)
60 mulclnq 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Qโ€˜๐‘ฃ) โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q)
6133, 60sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q)
62 mulclnq 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘ค) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ Q)
6350, 62sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ Q)
64 recmulnqg 7410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†” (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q))
6561, 63, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†” (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q))
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โ†” (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) ยทQ (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค))) = 1Q))
6759, 66mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) = (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)))
6867eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
6968biimprd 158 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
70 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ๐‘ฆ โ†” ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)))
71 fveq2 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฆ) = (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)))
7271eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
7370, 72anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โ†’ ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))
7473spcegv 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ Q โ†’ ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = โŸจ{๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))}, {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (1st โ€˜๐ด))}โŸฉ
7776recexprlemell 7641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ๐‘ฆ โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
7875, 77imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
7978adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) <Q ((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค) โˆง (*Qโ€˜((*Qโ€˜๐‘ฃ) ยทQ ๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
8039, 69, 79syl2and 295 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต)))
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฃ โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต))
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1250 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต))
83303ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
84 mulidnq 7408 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = ๐‘ค)
85 mulcomnqg 7402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ค โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8656, 85mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ค ยทQ 1Q) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8784, 86eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ ๐‘ค = (1Q ยทQ ๐‘ค))
8887adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ค = (1Q ยทQ ๐‘ค))
89 recidnq 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) = 1Q)
9089oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (1Q ยทQ ๐‘ค))
92 mulassnqg 7403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘ง) โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9331, 92syl3an2 1283 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
94933anidm12 1306 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ง ยทQ (*Qโ€˜๐‘ง)) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9588, 91, 943eqtr2d 2228 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9683, 21, 95syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
97 oveq2 5900 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค)))
9897eqeq2d 2201 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค))))
9998rspcev 2856 . . . . . . . . . 10 ((((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) โˆˆ (1st โ€˜๐ต) โˆง ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ((*Qโ€˜๐‘ง) ยทQ ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ))
10082, 96, 99syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฃ <Q ๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ))
1011003expia 1207 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
102101reximdv 2591 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
10376recexprlempr 7651 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
104 df-imp 7488 . . . . . . . . . 10 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}, {๐‘ข โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ Q โˆƒ๐‘” โˆˆ Q (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))}โŸฉ)
105104, 52genpelvl 7531 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
106103, 105mpdan 421 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
107106ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ต)๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
108102, 107sylibrd 169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฃ <Q ๐‘ง โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
10912, 108mpd 13 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฃ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ค)) โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
1109, 109rexlimddv 2612 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ค <Q 1Q) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
111110ex 115 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค <Q 1Q โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
1122, 111biimtrid 152 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
113112ssrdv 3176 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜1P) โІ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 980   = wceq 1364  โˆƒwex 1503   โˆˆ wcel 2160  {cab 2175  โˆƒwrex 2469   โІ wss 3144  โŸจcop 3610   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5232  (class class class)co 5892  1st c1st 6158  2nd c2nd 6159  Qcnq 7299  1Qc1q 7300   ยทQ cmq 7302  *Qcrq 7303   <Q cltq 7304  Pcnp 7310  1Pc1p 7311   ยทP cmp 7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-1o 6436  df-2o 6437  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ec 6556  df-qs 6560  df-ni 7323  df-pli 7324  df-mi 7325  df-lti 7326  df-plpq 7363  df-mpq 7364  df-enq 7366  df-nqqs 7367  df-plqqs 7368  df-mqqs 7369  df-1nqqs 7370  df-rq 7371  df-ltnqqs 7372  df-enq0 7443  df-nq0 7444  df-0nq0 7445  df-plq0 7446  df-mq0 7447  df-inp 7485  df-i1p 7486  df-imp 7488
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7656
  Copyright terms: Public domain W3C validator