Theorem eqbrtrid 4069

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2196	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4068	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  xp1en  6891  caucvgprlemm  7752  intqfrac2  10428  m1modge3gt1  10480  bernneq2  10770  reccn2ap  11495  eirraplem  11959  nno  12088  bitsfzolem  12136  bitsinv1lem  12143  oddprmge3  12328  sqnprm  12329  4sqlem6  12577  4sqlem13m  12597  4sqlem16  12600  4sqlem17  12601  2expltfac  12633  oddennn  12634  strle2g  12810  strle3g  12811  1strstrg  12819  2strstrg  12821  rngstrg  12837  srngstrd  12848  lmodstrd  12866  ipsstrd  12878  topgrpstrd  12898  imasvalstrd  12972  znidom  14289  psmetge0  14651  reeff1olem  15091  cosq14gt0  15152  cosq34lt1  15170  ioocosf1o  15174  mersenne  15317  gausslemma2dlem0c  15376  gausslemma2dlem0e  15378  lgseisenlem1  15395  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  pwf1oexmid  15730  trilpolemeq1  15771