Theorem eqbrtrid 4064

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2193	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4063	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030

This theorem is referenced by:  xp1en  6877  caucvgprlemm  7728  intqfrac2  10390  m1modge3gt1  10442  bernneq2  10732  reccn2ap  11456  eirraplem  11920  nno  12047  oddprmge3  12273  sqnprm  12274  4sqlem6  12521  4sqlem13m  12541  4sqlem16  12544  4sqlem17  12545  oddennn  12549  strle2g  12725  strle3g  12726  1strstrg  12734  2strstrg  12736  rngstrg  12752  srngstrd  12763  lmodstrd  12781  ipsstrd  12793  topgrpstrd  12813  znidom  14145  psmetge0  14499  reeff1olem  14906  cosq14gt0  14967  cosq34lt1  14985  ioocosf1o  14989  gausslemma2dlem0c  15167  gausslemma2dlem0e  15169  lgseisenlem1  15186  lgsquadlem1  15191  pwf1oexmid  15490  trilpolemeq1  15530