Theorem eqbrtrid 4165

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  rex2dom  7110  xp1en  7121  caucvgprlemm  8035  intqfrac2  10769  m1modge3gt1  10821  bernneq2  11112  reccn2ap  12095  eirraplem  12560  nno  12689  bitsfzolem  12737  bitsinv1lem  12744  oddprmge3  12930  sqnprm  12931  4sqlem6  13182  4sqlem13m  13202  4sqlem16  13205  4sqlem17  13206  2expltfac  13239  oddennn  13332  strle2g  13510  strle3g  13511  1strstrg  13519  2strstrndx  13521  2strstrg  13522  rngstrg  13538  srngstrd  13549  lmodstrd  13567  ipsstrd  13579  topgrpstrd  13599  imasvalstrd  13668  znidom  15041  psmetge0  15481  reeff1olem  15921  cosq14gt0  15983  cosq34lt1  16001  ioocosf1o  16005  mersenne  16195  bposlem2  16210  bposlem5  16213  gausslemma2dlem0c  16268  gausslemma2dlem0e  16270  lgseisenlem1  16287  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  pwf1oexmid  17127  trilpolemeq1  17187