Theorem eqbrtrid 4165

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  rex2dom  7110  xp1en  7121  caucvgprlemm  8035  intqfrac2  10756  m1modge3gt1  10808  bernneq2  11099  reccn2ap  12079  eirraplem  12544  nno  12673  bitsfzolem  12721  bitsinv1lem  12728  oddprmge3  12913  sqnprm  12914  4sqlem6  13162  4sqlem13m  13182  4sqlem16  13185  4sqlem17  13186  2expltfac  13218  oddennn  13283  strle2g  13461  strle3g  13462  1strstrg  13470  2strstrndx  13472  2strstrg  13473  rngstrg  13489  srngstrd  13500  lmodstrd  13518  ipsstrd  13530  topgrpstrd  13550  imasvalstrd  13619  znidom  14992  psmetge0  15432  reeff1olem  15872  cosq14gt0  15933  cosq34lt1  15951  ioocosf1o  15955  mersenne  16111  gausslemma2dlem0c  16170  gausslemma2dlem0e  16172  lgseisenlem1  16189  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  pwf1oexmid  17029  trilpolemeq1  17089