Theorem eqbrtrid 4123

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2231	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4122	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   class class class wbr 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089

This theorem is referenced by:  rex2dom  6996  xp1en  7007  caucvgprlemm  7888  intqfrac2  10582  m1modge3gt1  10634  bernneq2  10924  reccn2ap  11878  eirraplem  12343  nno  12472  bitsfzolem  12520  bitsinv1lem  12527  oddprmge3  12712  sqnprm  12713  4sqlem6  12961  4sqlem13m  12981  4sqlem16  12984  4sqlem17  12985  2expltfac  13017  oddennn  13018  strle2g  13195  strle3g  13196  1strstrg  13204  2strstrndx  13206  2strstrg  13207  rngstrg  13223  srngstrd  13234  lmodstrd  13252  ipsstrd  13264  topgrpstrd  13284  imasvalstrd  13358  znidom  14677  psmetge0  15061  reeff1olem  15501  cosq14gt0  15562  cosq34lt1  15580  ioocosf1o  15584  mersenne  15727  gausslemma2dlem0c  15786  gausslemma2dlem0e  15788  lgseisenlem1  15805  lgsquadlem1  15812  lgsquadlem2  15813  lgsquadlem3  15814  pwf1oexmid  16626  trilpolemeq1  16670