Theorem eqbrtrid 4118

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2229	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084

This theorem is referenced by:  rex2dom  6979  xp1en  6990  caucvgprlemm  7866  intqfrac2  10553  m1modge3gt1  10605  bernneq2  10895  reccn2ap  11839  eirraplem  12303  nno  12432  bitsfzolem  12480  bitsinv1lem  12487  oddprmge3  12672  sqnprm  12673  4sqlem6  12921  4sqlem13m  12941  4sqlem16  12944  4sqlem17  12945  2expltfac  12977  oddennn  12978  strle2g  13155  strle3g  13156  1strstrg  13164  2strstrndx  13166  2strstrg  13167  rngstrg  13183  srngstrd  13194  lmodstrd  13212  ipsstrd  13224  topgrpstrd  13244  imasvalstrd  13318  znidom  14636  psmetge0  15020  reeff1olem  15460  cosq14gt0  15521  cosq34lt1  15539  ioocosf1o  15543  mersenne  15686  gausslemma2dlem0c  15745  gausslemma2dlem0e  15747  lgseisenlem1  15764  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  lgsquadlem3  15773  pwf1oexmid  16424  trilpolemeq1  16468