Theorem eqbrtrid 4065

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2193	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4064	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031

This theorem is referenced by:  xp1en  6879  caucvgprlemm  7730  intqfrac2  10393  m1modge3gt1  10445  bernneq2  10735  reccn2ap  11459  eirraplem  11923  nno  12050  oddprmge3  12276  sqnprm  12277  4sqlem6  12524  4sqlem13m  12544  4sqlem16  12547  4sqlem17  12548  oddennn  12552  strle2g  12728  strle3g  12729  1strstrg  12737  2strstrg  12739  rngstrg  12755  srngstrd  12766  lmodstrd  12784  ipsstrd  12796  topgrpstrd  12816  znidom  14156  psmetge0  14510  reeff1olem  14947  cosq14gt0  15008  cosq34lt1  15026  ioocosf1o  15030  gausslemma2dlem0c  15208  gausslemma2dlem0e  15210  lgseisenlem1  15227  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  lgsquadlem3  15236  pwf1oexmid  15560  trilpolemeq1  15600