Theorem eqbrtrid 3963

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2139	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 3962	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930

This theorem is referenced by:  xp1en  6717  caucvgprlemm  7479  intqfrac2  10095  m1modge3gt1  10147  bernneq2  10416  reccn2ap  11085  eirraplem  11486  nno  11606  oddprmge3  11818  sqnprm  11819  oddennn  11908  strle2g  12053  strle3g  12054  1strstrg  12060  2strstrg  12062  rngstrg  12077  srngstrd  12084  lmodstrd  12095  ipsstrd  12103  topgrpstrd  12113  psmetge0  12503  cosq14gt0  12916  cosq34lt1  12934  pwf1oexmid  13197  trilpolemeq1  13236