Theorem eqbrtrid 4069

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2196	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4068	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  xp1en  6891  caucvgprlemm  7754  intqfrac2  10430  m1modge3gt1  10482  bernneq2  10772  reccn2ap  11497  eirraplem  11961  nno  12090  bitsfzolem  12138  bitsinv1lem  12145  oddprmge3  12330  sqnprm  12331  4sqlem6  12579  4sqlem13m  12599  4sqlem16  12602  4sqlem17  12603  2expltfac  12635  oddennn  12636  strle2g  12812  strle3g  12813  1strstrg  12821  2strstrg  12823  rngstrg  12839  srngstrd  12850  lmodstrd  12868  ipsstrd  12880  topgrpstrd  12900  imasvalstrd  12974  znidom  14291  psmetge0  14675  reeff1olem  15115  cosq14gt0  15176  cosq34lt1  15194  ioocosf1o  15198  mersenne  15341  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem0e  15402  lgseisenlem1  15419  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  pwf1oexmid  15754  trilpolemeq1  15797