Theorem eqbrtrid 4085

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2206	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4084	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   class class class wbr 4050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3174  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-br 4051

This theorem is referenced by:  rex2dom  6923  xp1en  6932  caucvgprlemm  7796  intqfrac2  10481  m1modge3gt1  10533  bernneq2  10823  reccn2ap  11694  eirraplem  12158  nno  12287  bitsfzolem  12335  bitsinv1lem  12342  oddprmge3  12527  sqnprm  12528  4sqlem6  12776  4sqlem13m  12796  4sqlem16  12799  4sqlem17  12800  2expltfac  12832  oddennn  12833  strle2g  13009  strle3g  13010  1strstrg  13018  2strstrndx  13020  2strstrg  13021  rngstrg  13037  srngstrd  13048  lmodstrd  13066  ipsstrd  13078  topgrpstrd  13098  imasvalstrd  13172  znidom  14489  psmetge0  14873  reeff1olem  15313  cosq14gt0  15374  cosq34lt1  15392  ioocosf1o  15396  mersenne  15539  gausslemma2dlem0c  15598  gausslemma2dlem0e  15600  lgseisenlem1  15617  lgsquadlem1  15624  lgsquadlem2  15625  lgsquadlem3  15626  pwf1oexmid  16071  trilpolemeq1  16114