Theorem eqbrtrid 4166

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4165	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  rex2dom  7114  xp1en  7125  caucvgprlemm  8041  intqfrac2  10777  m1modge3gt1  10829  bernneq2  11120  reccn2ap  12104  eirraplem  12569  nno  12698  bitsfzolem  12746  bitsinv1lem  12753  oddprmge3  12939  sqnprm  12940  4sqlem6  13191  4sqlem13m  13211  4sqlem16  13214  4sqlem17  13215  2expltfac  13248  oddennn  13341  strle2g  13520  strle3g  13521  1strstrg  13529  2strstrndx  13531  2strstrg  13532  rngstrg  13548  srngstrd  13559  lmodstrd  13577  ipsstrd  13589  topgrpstrd  13609  imasvalstrd  13678  znidom  15101  psmetge0  15557  reeff1olem  15997  cosq14gt0  16059  cosq34lt1  16078  ioocosf1o  16082  chtqub  16296  mersenne  16297  bposlem2  16312  bposlem5  16315  bposlem6  16316  bposlem9  16319  gausslemma2dlem0c  16375  gausslemma2dlem0e  16377  lgseisenlem1  16394  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  pwf1oexmid  17234  trilpolemeq1  17296