Theorem eqbrtrid 4121

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2229	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4120	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087

This theorem is referenced by:  rex2dom  6991  xp1en  7002  caucvgprlemm  7878  intqfrac2  10571  m1modge3gt1  10623  bernneq2  10913  reccn2ap  11864  eirraplem  12328  nno  12457  bitsfzolem  12505  bitsinv1lem  12512  oddprmge3  12697  sqnprm  12698  4sqlem6  12946  4sqlem13m  12966  4sqlem16  12969  4sqlem17  12970  2expltfac  13002  oddennn  13003  strle2g  13180  strle3g  13181  1strstrg  13189  2strstrndx  13191  2strstrg  13192  rngstrg  13208  srngstrd  13219  lmodstrd  13237  ipsstrd  13249  topgrpstrd  13269  imasvalstrd  13343  znidom  14661  psmetge0  15045  reeff1olem  15485  cosq14gt0  15546  cosq34lt1  15564  ioocosf1o  15568  mersenne  15711  gausslemma2dlem0c  15770  gausslemma2dlem0e  15772  lgseisenlem1  15789  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  pwf1oexmid  16536  trilpolemeq1  16580