Theorem eqbrtrid 4160

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4159	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126

This theorem is referenced by:  rex2dom  7100  xp1en  7111  caucvgprlemm  8025  intqfrac2  10734  m1modge3gt1  10786  bernneq2  11077  reccn2ap  12057  eirraplem  12522  nno  12651  bitsfzolem  12699  bitsinv1lem  12706  oddprmge3  12891  sqnprm  12892  4sqlem6  13140  4sqlem13m  13160  4sqlem16  13163  4sqlem17  13164  2expltfac  13196  oddennn  13261  strle2g  13438  strle3g  13439  1strstrg  13447  2strstrndx  13449  2strstrg  13450  rngstrg  13466  srngstrd  13477  lmodstrd  13495  ipsstrd  13507  topgrpstrd  13527  imasvalstrd  13596  znidom  14964  psmetge0  15355  reeff1olem  15795  cosq14gt0  15856  cosq34lt1  15874  ioocosf1o  15878  mersenne  16025  gausslemma2dlem0c  16084  gausslemma2dlem0e  16086  lgseisenlem1  16103  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  pwf1oexmid  16943  trilpolemeq1  16994