Theorem eqbrtrid 4068

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2196	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4067	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034

This theorem is referenced by:  xp1en  6882  caucvgprlemm  7735  intqfrac2  10411  m1modge3gt1  10463  bernneq2  10753  reccn2ap  11478  eirraplem  11942  nno  12071  bitsfzolem  12118  oddprmge3  12303  sqnprm  12304  4sqlem6  12552  4sqlem13m  12572  4sqlem16  12575  4sqlem17  12576  2expltfac  12608  oddennn  12609  strle2g  12785  strle3g  12786  1strstrg  12794  2strstrg  12796  rngstrg  12812  srngstrd  12823  lmodstrd  12841  ipsstrd  12853  topgrpstrd  12873  znidom  14213  psmetge0  14567  reeff1olem  15007  cosq14gt0  15068  cosq34lt1  15086  ioocosf1o  15090  mersenne  15233  gausslemma2dlem0c  15292  gausslemma2dlem0e  15294  lgseisenlem1  15311  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquadlem3  15320  pwf1oexmid  15644  trilpolemeq1  15684