Theorem eqbrtrid 4150

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2234	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4149	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-br 4116

This theorem is referenced by:  rex2dom  7078  xp1en  7089  caucvgprlemm  8001  intqfrac2  10710  m1modge3gt1  10762  bernneq2  11053  reccn2ap  12029  eirraplem  12494  nno  12623  bitsfzolem  12671  bitsinv1lem  12678  oddprmge3  12863  sqnprm  12864  4sqlem6  13112  4sqlem13m  13132  4sqlem16  13135  4sqlem17  13136  2expltfac  13168  oddennn  13233  strle2g  13410  strle3g  13411  1strstrg  13419  2strstrndx  13421  2strstrg  13422  rngstrg  13438  srngstrd  13449  lmodstrd  13467  ipsstrd  13479  topgrpstrd  13499  imasvalstrd  13568  znidom  14936  psmetge0  15327  reeff1olem  15767  cosq14gt0  15828  cosq34lt1  15846  ioocosf1o  15850  mersenne  15996  gausslemma2dlem0c  16055  gausslemma2dlem0e  16057  lgseisenlem1  16074  lgsquadlem1  16081  lgsquadlem2  16082  lgsquadlem3  16083  pwf1oexmid  16914  trilpolemeq1  16965