Theorem eqbrtrid 4144

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2232	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4143	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110

This theorem is referenced by:  rex2dom  7063  xp1en  7074  caucvgprlemm  7983  intqfrac2  10681  m1modge3gt1  10733  bernneq2  11023  reccn2ap  11998  eirraplem  12463  nno  12592  bitsfzolem  12640  bitsinv1lem  12647  oddprmge3  12832  sqnprm  12833  4sqlem6  13081  4sqlem13m  13101  4sqlem16  13104  4sqlem17  13105  2expltfac  13137  oddennn  13143  strle2g  13320  strle3g  13321  1strstrg  13329  2strstrndx  13331  2strstrg  13332  rngstrg  13348  srngstrd  13359  lmodstrd  13377  ipsstrd  13389  topgrpstrd  13409  imasvalstrd  13483  znidom  14805  psmetge0  15196  reeff1olem  15636  cosq14gt0  15697  cosq34lt1  15715  ioocosf1o  15719  mersenne  15865  gausslemma2dlem0c  15924  gausslemma2dlem0e  15926  lgseisenlem1  15943  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  pwf1oexmid  16773  trilpolemeq1  16824