Theorem eqbrtrid 3999

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2157	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 3998	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   class class class wbr 3965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966

This theorem is referenced by:  xp1en  6761  caucvgprlemm  7571  intqfrac2  10200  m1modge3gt1  10252  bernneq2  10521  reccn2ap  11192  eirraplem  11655  nno  11778  oddprmge3  11991  sqnprm  11992  oddennn  12093  strle2g  12241  strle3g  12242  1strstrg  12248  2strstrg  12250  rngstrg  12265  srngstrd  12272  lmodstrd  12283  ipsstrd  12291  topgrpstrd  12301  psmetge0  12691  reeff1olem  13052  cosq14gt0  13113  cosq34lt1  13131  ioocosf1o  13135  pwf1oexmid  13531  trilpolemeq1  13573