Theorem eqbrtrid 4166

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4165	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  rex2dom  7116  xp1en  7127  caucvgprlemm  8041  intqfrac2  10776  m1modge3gt1  10828  bernneq2  11119  reccn2ap  12103  eirraplem  12568  nno  12697  bitsfzolem  12745  bitsinv1lem  12752  oddprmge3  12938  sqnprm  12939  4sqlem6  13190  4sqlem13m  13210  4sqlem16  13213  4sqlem17  13214  2expltfac  13247  oddennn  13340  strle2g  13519  strle3g  13520  1strstrg  13528  2strstrndx  13530  2strstrg  13531  rngstrg  13547  srngstrd  13558  lmodstrd  13576  ipsstrd  13588  topgrpstrd  13608  imasvalstrd  13677  znidom  15100  psmetge0  15574  reeff1olem  16014  cosq14gt0  16076  cosq34lt1  16095  ioocosf1o  16099  chtqub  16313  mersenne  16314  bposlem2  16329  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem9  16336  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0e  16394  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  pwf1oexmid  17251  trilpolemeq1  17313