Theorem eqbrtrid 4149

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2234	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115

This theorem is referenced by:  rex2dom  7076  xp1en  7087  caucvgprlemm  7999  intqfrac2  10705  m1modge3gt1  10757  bernneq2  11048  reccn2ap  12023  eirraplem  12488  nno  12617  bitsfzolem  12665  bitsinv1lem  12672  oddprmge3  12857  sqnprm  12858  4sqlem6  13106  4sqlem13m  13126  4sqlem16  13129  4sqlem17  13130  2expltfac  13162  oddennn  13227  strle2g  13404  strle3g  13405  1strstrg  13413  2strstrndx  13415  2strstrg  13416  rngstrg  13432  srngstrd  13443  lmodstrd  13461  ipsstrd  13473  topgrpstrd  13493  imasvalstrd  13562  znidom  14931  psmetge0  15322  reeff1olem  15762  cosq14gt0  15823  cosq34lt1  15841  ioocosf1o  15845  mersenne  15991  gausslemma2dlem0c  16050  gausslemma2dlem0e  16052  lgseisenlem1  16069  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  pwf1oexmid  16899  trilpolemeq1  16950