Theorem eqbrtrid 4165

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  rex2dom  7110  xp1en  7121  caucvgprlemm  8036  intqfrac2  10771  m1modge3gt1  10823  bernneq2  11114  reccn2ap  12098  eirraplem  12563  nno  12692  bitsfzolem  12740  bitsinv1lem  12747  oddprmge3  12933  sqnprm  12934  4sqlem6  13185  4sqlem13m  13205  4sqlem16  13208  4sqlem17  13209  2expltfac  13242  oddennn  13335  strle2g  13514  strle3g  13515  1strstrg  13523  2strstrndx  13525  2strstrg  13526  rngstrg  13542  srngstrd  13553  lmodstrd  13571  ipsstrd  13583  topgrpstrd  13603  imasvalstrd  13672  znidom  15076  psmetge0  15523  reeff1olem  15963  cosq14gt0  16025  cosq34lt1  16043  ioocosf1o  16047  chtqub  16257  mersenne  16258  bposlem2  16273  bposlem5  16276  bposlem6  16277  bposlem9  16280  gausslemma2dlem0c  16336  gausslemma2dlem0e  16338  lgseisenlem1  16355  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  pwf1oexmid  17195  trilpolemeq1  17256