Theorem eqbrtrid 4117

Description: B chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrid.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqid 2229	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
4	1, 2, 3	3brtr4g 4116	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083

This theorem is referenced by:  rex2dom  6969  xp1en  6978  caucvgprlemm  7851  intqfrac2  10536  m1modge3gt1  10588  bernneq2  10878  reccn2ap  11819  eirraplem  12283  nno  12412  bitsfzolem  12460  bitsinv1lem  12467  oddprmge3  12652  sqnprm  12653  4sqlem6  12901  4sqlem13m  12921  4sqlem16  12924  4sqlem17  12925  2expltfac  12957  oddennn  12958  strle2g  13135  strle3g  13136  1strstrg  13144  2strstrndx  13146  2strstrg  13147  rngstrg  13163  srngstrd  13174  lmodstrd  13192  ipsstrd  13204  topgrpstrd  13224  imasvalstrd  13298  znidom  14615  psmetge0  14999  reeff1olem  15439  cosq14gt0  15500  cosq34lt1  15518  ioocosf1o  15522  mersenne  15665  gausslemma2dlem0c  15724  gausslemma2dlem0e  15726  lgseisenlem1  15743  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  pwf1oexmid  16324  trilpolemeq1  16367