ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosq23lt0 GIF version

Theorem cosq23lt0 13887
Description: The cosine of a number in the second and third quadrants is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
cosq23lt0 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)

Proof of Theorem cosq23lt0
StepHypRef Expression
1 elioore 9886 . . . 4 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 7963 . . 3 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 sinhalfpip 13874 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))
42, 3syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))
5 halfpire 13846 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
65a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (π / 2) ∈ ℝ)
76, 1readdcld 7964 . . . 4 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((π / 2) + 𝐴) ∈ ℝ)
8 pidiv2halves 13849 . . . . 5 ((π / 2) + (π / 2)) = π
95rexri 7992 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ*
10 3re 8969 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
1110, 5remulcli 7949 . . . . . . . . 9 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
1211rexri 7992 . . . . . . . 8 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13 elioo2 9895 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
149, 12, 13mp2an 426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
1514simp2bi 1013 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (π / 2) < 𝐴)
166, 1, 6, 15ltadd2dd 8356 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((π / 2) + (π / 2)) < ((π / 2) + 𝐴))
178, 16eqbrtrrid 4036 . . . 4 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → π < ((π / 2) + 𝐴))
1811a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
1914simp3bi 1014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
201, 18, 6, 19ltadd2dd 8356 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((π / 2) + 𝐴) < ((π / 2) + (3 · (π / 2))))
21 ax-1cn 7882 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
22 3cn 8970 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
235recni 7947 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℂ
2421, 22, 23adddiri 7946 . . . . . . 7 ((1 + 3) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (3 · (π / 2)))
25 3p1e4 9030 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
2622, 21, 25addcomli 8079 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2726oveq1i 5878 . . . . . . 7 ((1 + 3) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
2823mulid2i 7938 . . . . . . . 8 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2928oveq1i 5878 . . . . . . 7 ((1 · (π / 2)) + (3 · (π / 2))) = ((π / 2) + (3 · (π / 2)))
3024, 27, 293eqtr3ri 2207 . . . . . 6 ((π / 2) + (3 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
31 4cn 8973 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 2cn 8966 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
33 2ap0 8988 . . . . . . . 8 2 # 0
3432, 33pm3.2i 272 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
35 picn 13841 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
36 div32ap 8625 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ π ∈ ℂ) → ((4 / 2) · π) = (4 · (π / 2)))
3731, 34, 35, 36mp3an 1337 . . . . . 6 ((4 / 2) · π) = (4 · (π / 2))
38 4d2e2 9055 . . . . . . 7 (4 / 2) = 2
3938oveq1i 5878 . . . . . 6 ((4 / 2) · π) = (2 · π)
4030, 37, 393eqtr2i 2204 . . . . 5 ((π / 2) + (3 · (π / 2))) = (2 · π)
4120, 40breqtrdi 4041 . . . 4 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((π / 2) + 𝐴) < (2 · π))
42 pire 13840 . . . . . 6 π ∈ ℝ
4342rexri 7992 . . . . 5 π ∈ ℝ*
44 2re 8965 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4544, 42remulcli 7949 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
4645rexri 7992 . . . . 5 (2 · π) ∈ ℝ*
47 elioo2 9895 . . . . 5 ((π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (((π / 2) + 𝐴) ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (((π / 2) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ π < ((π / 2) + 𝐴) ∧ ((π / 2) + 𝐴) < (2 · π))))
4843, 46, 47mp2an 426 . . . 4 (((π / 2) + 𝐴) ∈ (π(,)(2 · π)) ↔ (((π / 2) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ π < ((π / 2) + 𝐴) ∧ ((π / 2) + 𝐴) < (2 · π)))
497, 17, 41, 48syl3anbrc 1181 . . 3 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((π / 2) + 𝐴) ∈ (π(,)(2 · π)))
50 sinq34lt0t 13885 . . 3 (((π / 2) + 𝐴) ∈ (π(,)(2 · π)) → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) < 0)
5149, 50syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) < 0)
524, 51eqbrtrrd 4024 1 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  cr 7788  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   · cmul 7794  *cxr 7968   < clt 7969   # cap 8515   / cdiv 8605  2c2 8946  3c3 8947  4c4 8948  (,)cioo 9862  sincsin 11623  cosccos 11624  πcpi 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909  ax-pre-suploc 7910  ax-addf 7911  ax-mulf 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-of 6076  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-map 6643  df-pm 6644  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-ioo 9866  df-ioc 9867  df-ico 9868  df-icc 9869  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-shft 10795  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-sin 11629  df-cos 11630  df-pi 11632  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-tx 13386  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759
This theorem is referenced by:  coseq0q4123  13888  cos02pilt1  13905
  Copyright terms: Public domain W3C validator