Theorem endjudisj 7556

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7397	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) = (𝐴 ⊔ 𝐵)
2		eninl 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
4		eninr 7428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
5	4	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
6		djuin 7394	. . . 4 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅)
8		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9		unen 7095	. . 3 ⊢ ((((inl “ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ (((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl22anc 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
11	1, 10	eqbrtrrid 4161	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520   class class class wbr 4125   “ cima 4772   ≈ cen 7010   ⊔ cdju 7367  inlcinl 7375  inrcinr 7376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378

This theorem is referenced by:  djuenun  7558  dju0en  7560  exmidunben  13295