Theorem endjudisj 7211

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7068	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) = (𝐴 ⊔ 𝐵)
2		eninl 7098	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
4		eninr 7099	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
5	4	3ad2ant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
6		djuin 7065	. . . 4 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅)
8		simp3 999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9		unen 6818	. . 3 ⊢ ((((inl “ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ (((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl22anc 1239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
11	1, 10	eqbrtrrid 4041	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424   class class class wbr 4005   “ cima 4631   ≈ cen 6740   ⊔ cdju 7038  inlcinl 7046  inrcinr 7047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049

This theorem is referenced by:  djuenun  7213  dju0en  7215  exmidunben  12429