Theorem endjudisj 7187

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7044	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) = (𝐴 ⊔ 𝐵)
2		eninl 7074	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
4		eninr 7075	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
5	4	3ad2ant2 1014	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
6		djuin 7041	. . . 4 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅)
8		simp3 994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9		unen 6794	. . 3 ⊢ ((((inl “ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ (((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl22anc 1234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
11	1, 10	eqbrtrrid 4025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414   class class class wbr 3989   “ cima 4614   ≈ cen 6716   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025

This theorem is referenced by:  djuenun  7189  dju0en  7191  exmidunben  12381