Theorem endjudisj 7272

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7128	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) = (𝐴 ⊔ 𝐵)
2		eninl 7158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
4		eninr 7159	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
5	4	3ad2ant2 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵)
6		djuin 7125	. . . 4 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅)
8		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9		unen 6872	. . 3 ⊢ ((((inl “ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (inr “ 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ (((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
10	3, 5, 7, 8, 9	syl22anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
11	1, 10	eqbrtrrid 4066	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152   ∩ cin 3153  ∅c0 3447   class class class wbr 4030   “ cima 4663   ≈ cen 6794   ⊔ cdju 7098  inlcinl 7106  inrcinr 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109

This theorem is referenced by:  djuenun  7274  dju0en  7276  exmidunben  12586