Theorem ncoprmgcdne1b 12606

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9165	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		2re 9176	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
4		eluzelz 9727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6	5	zred 9565	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℝ)
7		simplll 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
8		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
9		gcdnncl 12483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	10	nnred 9119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
12		eluzle 9730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑖)
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 2 ≤ 𝑖)
14		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
15	7	nnzd 9564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	8	nnzd 9564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		dvdsgcd 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
18	5, 15, 16, 17	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
19	14, 18	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
20		dvdsle 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
21	5, 10, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
22	19, 21	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
23	3, 6, 11, 13, 22	letrd 8266	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 2 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
24	1, 23	eqbrtrrid 4118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (1 + 1) ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
25		1nn 9117	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 1 ∈ ℕ)
27		nnltp1le 9503	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (1 + 1) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	26, 10, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (1 + 1) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
29	24, 28	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 1 < (𝐴 gcd 𝐵))
30		nngt1ne1 9141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
31	10, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
32	29, 31	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)
33	32	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
34	33	rexlimdva 2648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
35	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
36		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)
37		eluz2b3 9795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	35, 36, 37	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
39		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℕ)
40	39	nnzd 9564	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
41		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℕ)
42	41	nnzd 9564	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
43		gcddvds 12479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
45		breq1 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴))
46		breq1 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
47	45, 46	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)))
48	47	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
49	38, 44, 48	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
50	49	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1 → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
51	34, 50	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178  ℕcn 9106  2c2 9157  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718   ∥ cdvds 12293   gcd cgcd 12469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  12607