Theorem cos12dec 11911

Description: Cosine is decreasing from one to two. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 6-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos12dec	⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos12dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		2re 9052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		iccssre 10021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4	sseli 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	6, 9	resubcld 8400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 8330	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
14	13	coscld 11854	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
15	12	coscld 11854	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
17	13	sincld 11853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
18	12	sincld 11853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
20	16, 19	negsubd 8336	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
21	10	rehalfcld 9229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
22	6, 21	resubcld 8400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
23	22	resincld 11866	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
24	21	resincld 11866	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 8050	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 8399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
27	22	recoscld 11867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
28	21	recoscld 11867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 8050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
30		0red 8020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
31	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 9229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ∈ ℝ)
33		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
34	9, 6	posdifd 8551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
36		halfpos2 9212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
39		2rp 9724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
41	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
42	1	rexri 8077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43	2	rexri 8077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ*
44		iccleub 9997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 𝐵 ≤ 2)
45	42, 43, 44	mp3an12 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ≤ 2)
46	45	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 2)
47		iccgelb 9998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 43, 47	mp3an12 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
50	6, 31, 41, 9, 46, 49	le2subd 8583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (2 − 1))
51		2m1e1 9100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
52	50, 51	breqtrdi 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 1)
53	10, 31, 40, 52	lediv1dd 9821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (1 / 2))
54	30, 21, 32, 38, 53	ltletrd 8442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (1 / 2))
55		1mhlfehlf 9200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
56		iccgelb 9998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐵)
57	42, 43, 56	mp3an12 1338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐵)
58	57	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐵)
59	31, 21, 6, 32, 58, 53	le2subd 8583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 − (1 / 2)) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
60	55, 59	eqbrtrrid 4065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
61	30, 32, 22, 54, 60	ltletrd 8442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
62	30, 21, 38	ltled 8138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ ((𝐵 − 𝐴) / 2))
63	6, 30, 41, 21, 46, 62	le2subd 8583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ (2 − 0))
64		2cn 9053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
65	64	subid1i 8291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 0) = 2
66	63, 65	breqtrdi 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)
67		0xr 8066	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2))
70	22, 61, 66, 69	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
73		halfre 9195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
74		halflt1 9199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
75		1lt2 9151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
76	73, 1, 2	lttri 8124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ 1 < 2) → (1 / 2) < 2)
77	74, 75, 76	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 2
78	73, 2, 77	ltleii 8122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ≤ 2
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ 2)
80	21, 32, 41, 53, 79	letrd 8143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)
81		elioc2 10002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)))
82	67, 2, 81	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2))
83	21, 38, 80, 82	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2))
84		sin02gt0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
86	23, 24, 72, 85	mulgt0d 8142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
87	25	lt0neg2d 8535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ↔ -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0))
88	86, 87	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0)
89	26, 30, 25, 88, 86	lttrd 8145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
90	26, 25, 29, 89	ltadd2dd 8441	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
91	20, 90	eqbrtrrd 4053	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
92	7, 12	npcand 8334	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵)
93	92	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐵))
94		cosadd 11880	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
95	13, 12, 94	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
96	93, 95	eqtr3d 2228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
97	7, 12, 12	subsub4d 8361	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
98	11	2halvesd 9228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − 𝐴))
99	98	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
100	9	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
101	7, 100	nncand 8335	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
102	97, 99, 101	3eqtrd 2230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴)
103	102	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐴))
104		cossub 11884	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
105	13, 12, 104	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
106	103, 105	eqtr3d 2228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐴) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
107	91, 96, 106	3brtr4d 4061	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  -cneg 8191   / cdiv 8691  2c2 9033  ℝ⁺crp 9719  (,]cioc 9955  [,]cicc 9957  sincsin 11787  cosccos 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794

This theorem is referenced by:  cosz12  14915