Theorem cos12dec 12450

Description: Cosine is decreasing from one to two. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 6-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos12dec	⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos12dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		2re 9306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		iccssre 10287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4	sseli 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	6, 9	resubcld 8653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 8583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
14	13	coscld 12393	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
15	12	coscld 12393	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
17	13	sincld 12392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
18	12	sincld 12392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 8293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
20	16, 19	negsubd 8589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
21	10	rehalfcld 9484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
22	6, 21	resubcld 8653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
23	22	resincld 12405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
24	21	resincld 12405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 8303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 8652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
27	22	recoscld 12406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
28	21	recoscld 12406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 8303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
30		0red 8274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
31	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 9484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ∈ ℝ)
33		simp3 1026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
34	9, 6	posdifd 8805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
36		halfpos2 9467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
39		2rp 9990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
41	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
42	1	rexri 8330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43	2	rexri 8330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ*
44		iccleub 10263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 𝐵 ≤ 2)
45	42, 43, 44	mp3an12 1364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ≤ 2)
46	45	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 2)
47		iccgelb 10264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 43, 47	mp3an12 1364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
50	6, 31, 41, 9, 46, 49	le2subd 8837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (2 − 1))
51		2m1e1 9354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
52	50, 51	breqtrdi 4149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 1)
53	10, 31, 40, 52	lediv1dd 10087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (1 / 2))
54	30, 21, 32, 38, 53	ltletrd 8696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (1 / 2))
55		1mhlfehlf 9455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
56		iccgelb 10264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐵)
57	42, 43, 56	mp3an12 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐵)
58	57	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐵)
59	31, 21, 6, 32, 58, 53	le2subd 8837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 − (1 / 2)) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
60	55, 59	eqbrtrrid 4144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
61	30, 32, 22, 54, 60	ltletrd 8696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
62	30, 21, 38	ltled 8391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ ((𝐵 − 𝐴) / 2))
63	6, 30, 41, 21, 46, 62	le2subd 8837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ (2 − 0))
64		2cn 9307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
65	64	subid1i 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 0) = 2
66	63, 65	breqtrdi 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)
67		0xr 8319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2))
70	22, 61, 66, 69	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 12446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
73		halfre 9450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
74		halflt1 9454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
75		1lt2 9406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
76	73, 1, 2	lttri 8377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ 1 < 2) → (1 / 2) < 2)
77	74, 75, 76	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 2
78	73, 2, 77	ltleii 8375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ≤ 2
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ 2)
80	21, 32, 41, 53, 79	letrd 8396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)
81		elioc2 10268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)))
82	67, 2, 81	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2))
83	21, 38, 80, 82	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2))
84		sin02gt0 12446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
86	23, 24, 72, 85	mulgt0d 8395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
87	25	lt0neg2d 8789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ↔ -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0))
88	86, 87	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0)
89	26, 30, 25, 88, 86	lttrd 8398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
90	26, 25, 29, 89	ltadd2dd 8695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
91	20, 90	eqbrtrrd 4132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
92	7, 12	npcand 8587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵)
93	92	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐵))
94		cosadd 12419	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
95	13, 12, 94	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
96	93, 95	eqtr3d 2267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
97	7, 12, 12	subsub4d 8614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
98	11	2halvesd 9483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − 𝐴))
99	98	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
100	9	recnd 8301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
101	7, 100	nncand 8588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
102	97, 99, 101	3eqtrd 2269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴)
103	102	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐴))
104		cossub 12423	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
105	13, 12, 104	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
106	103, 105	eqtr3d 2267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐴) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
107	91, 96, 106	3brtr4d 4140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ℝcr 8125  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131  ℝ^*cxr 8306   < clt 8307   ≤ cle 8308   − cmin 8443  -cneg 8444   / cdiv 8945  2c2 9287  ℝ⁺crp 9985  (,]cioc 10221  [,]cicc 10223  sincsin 12326  cosccos 12327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-ioc 10225  df-ico 10226  df-icc 10227  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-bc 11109  df-ihash 11137  df-shft 11496  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035  df-ef 12330  df-sin 12332  df-cos 12333

This theorem is referenced by:  cosz12  15637