cos12dec - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cos12dec 11777

Description: Cosine is decreasing from one to two. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 6-Mar-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
cos12dec	⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

**Proof of Theorem cos12dec**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		2re 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		iccssre 9957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4	sseli 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	6, 9	resubcld 8340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 7988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 8270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
14	13	coscld 11721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
15	12	coscld 11721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 7980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
17	13	sincld 11720	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
18	12	sincld 11720	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 7980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
20	16, 19	negsubd 8276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
21	10	rehalfcld 9167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
22	6, 21	resubcld 8340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
23	22	resincld 11733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
24	21	resincld 11733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 7990	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 8339	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
27	22	recoscld 11734	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
28	21	recoscld 11734	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 7990	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
30		0red 7960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
31	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 9167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ∈ ℝ)
33		simp3 999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
34	9, 6	posdifd 8491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
36		halfpos2 9151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
39		2rp 9660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ⁺)
41	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
42	1	rexri 8017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
43	2	rexri 8017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ^*
44		iccleub 9933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 𝐵 ≤ 2)
45	42, 43, 44	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ≤ 2)
46	45	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 2)
47		iccgelb 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 43, 47	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
50	6, 31, 41, 9, 46, 49	le2subd 8523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (2 − 1))
51		2m1e1 9039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
52	50, 51	breqtrdi 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 1)
53	10, 31, 40, 52	lediv1dd 9757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (1 / 2))
54	30, 21, 32, 38, 53	ltletrd 8382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (1 / 2))
55		1mhlfehlf 9139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
56		iccgelb 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐵)
57	42, 43, 56	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐵)
58	57	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐵)
59	31, 21, 6, 32, 58, 53	le2subd 8523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 − (1 / 2)) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
60	55, 59	eqbrtrrid 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
61	30, 32, 22, 54, 60	ltletrd 8382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
62	30, 21, 38	ltled 8078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ ((𝐵 − 𝐴) / 2))
63	6, 30, 41, 21, 46, 62	le2subd 8523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ (2 − 0))
64		2cn 8992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
65	64	subid1i 8231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 0) = 2
66	63, 65	breqtrdi 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)
67		0xr 8006	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
68		elioc2 9938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2))
70	22, 61, 66, 69	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 11773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
73		halfre 9134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
74		halflt1 9138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
75		1lt2 9090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
76	73, 1, 2	lttri 8064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ 1 < 2) → (1 / 2) < 2)
77	74, 75, 76	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 2
78	73, 2, 77	ltleii 8062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ≤ 2
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ 2)
80	21, 32, 41, 53, 79	letrd 8083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)
81		elioc2 9938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)))
82	67, 2, 81	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2))
83	21, 38, 80, 82	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2))
84		sin02gt0 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
86	23, 24, 72, 85	mulgt0d 8082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
87	25	lt0neg2d 8475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ↔ -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0))
88	86, 87	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0)
89	26, 30, 25, 88, 86	lttrd 8085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
90	26, 25, 29, 89	ltadd2dd 8381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
91	20, 90	eqbrtrrd 4029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
92	7, 12	npcand 8274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵)
93	92	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐵))
94		cosadd 11747	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
95	13, 12, 94	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
96	93, 95	eqtr3d 2212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
97	7, 12, 12	subsub4d 8301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
98	11	2halvesd 9166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − 𝐴))
99	98	oveq2d 5893	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
100	9	recnd 7988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
101	7, 100	nncand 8275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
102	97, 99, 101	3eqtrd 2214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴)
103	102	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐴))
104		cossub 11751	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
105	13, 12, 104	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
106	103, 105	eqtr3d 2212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐴) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
107	91, 96, 106	3brtr4d 4037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 105 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ⊆ wss 3131 class class class wbr 4005 ‘cfv 5218 (class class class)co 5877 ℂcc 7811 ℝcr 7812 0cc0 7813 1c1 7814 + caddc 7816 · cmul 7818 ℝ^*cxr 7993 < clt 7994 ≤ cle 7995 − cmin 8130 -cneg 8131 / cdiv 8631 2c2 8972 ℝ⁺crp 9655 (,]cioc 9891 [,]cicc 9893 sincsin 11654 cosccos 11655

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-disj 3983 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-oadd 6423 df-er 6537 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-5 8983 df-6 8984 df-7 8985 df-8 8986 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-ioc 9895 df-ico 9896 df-icc 9897 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-fac 10708 df-bc 10730 df-ihash 10758 df-shft 10826 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-sumdc 11364 df-ef 11658 df-sin 11660 df-cos 11661

This theorem is referenced by: cosz12 14240

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