ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnv GIF version

Theorem expcnv 11280
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 8987 . . . 4 ℕ ⊆ ℕ0
2 resmpt 4867 . . . 4 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4 expcnv.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
54abscld 10960 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 expcnv.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
74absge0d 10963 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
85, 6, 7expcnvre 11279 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
9 nnuz 9368 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
109reseq2i 4816 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1))
1110breq1i 3936 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0)
12 1z 9087 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
13 nn0ex 8990 . . . . . . 7 0 ∈ V
1413mptex 5646 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
15 climres 11079 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
1612, 14, 15mp2an 422 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
1711, 16bitri 183 . . . 4 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
188, 17sylibr 133 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0)
193, 18eqbrtrrid 3964 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 9088 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2113mptex 5646 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
2221a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
23 nnex 8733 . . . . 5 ℕ ∈ V
2423mptex 5646 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2524a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
26 nnnn0 8991 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
284adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928, 27expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
30 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
31 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
3230, 31fvmptg 5497 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3327, 29, 32syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3433, 29eqeltrd 2216 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 absexp 10858 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
364, 26, 35syl2an 287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3733fveq2d 5425 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
38 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
395adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4039recnd 7801 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
4140, 27expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
42 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4442, 43fvmptg 5497 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4538, 41, 44syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4636, 37, 453eqtr4rd 2183 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
479, 20, 22, 25, 34, 46climabs0 11083 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
4819, 47mpbird 166 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  wss 3071   class class class wbr 3929  cmpt 3989  cres 4541  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   < clt 7807  cn 8727  0cn0 8984  cz 9061  cuz 9333  cexp 10299  abscabs 10776  cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
This theorem is referenced by:  explecnv  11281  geolim  11287  geo2lim  11292
  Copyright terms: Public domain W3C validator