Theorem expcnv 12083

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)

Assertion

Ref	Expression
expcnv	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9405	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		resmpt 5061	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4		expcnv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	abscld 11759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		expcnv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
7	4	absge0d 11762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
8	5, 6, 7	expcnvre 12082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
9		nnuz 9792	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	9	reseq2i 5010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1))
11	10	breq1i 4095	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
12		1z 9505	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		nn0ex 9408	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	mptex 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
15		climres 11881	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
16	12, 14, 15	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
17	11, 16	bitri 184	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
18	8, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0)
19	3, 18	eqbrtrrid 4124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
20		1zzd 9506	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	13	mptex 5880	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
23		nnex 9149	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
24	23	mptex 5880	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
26		nnnn0 9409	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 27	expcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
30		oveq2 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
31		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
32	30, 31	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
33	27, 29, 32	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
34	33, 29	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		absexp 11657	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
36	4, 26, 35	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	33	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
38		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
40	39	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
41	40, 27	expcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
42		oveq2 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
44	42, 43	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
45	38, 41, 44	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
46	36, 37, 45	3eqtr4rd 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
47	9, 20, 22, 25, 34, 46	climabs0 11885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
48	19, 47	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   < clt 8214  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ↑cexp 10801  abscabs 11575   ⇝ cli 11856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857

This theorem is referenced by:  explecnv  12084  geolim  12090  geo2lim  12095