Theorem expcnv 12296

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)

Assertion

Ref	Expression
expcnv	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9577	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		resmpt 5114	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4		expcnv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	abscld 11970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		expcnv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
7	4	absge0d 11973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
8	5, 6, 7	expcnvre 12295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
9		nnuz 9974	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	9	reseq2i 5062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1))
11	10	breq1i 4138	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
12		1z 9681	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		nn0ex 9580	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	mptex 5946	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
15		climres 12094	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
16	12, 14, 15	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
17	11, 16	bitri 184	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
18	8, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0)
19	3, 18	eqbrtrrid 4167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
20		1zzd 9682	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	13	mptex 5946	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
23		nnex 9319	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
24	23	mptex 5946	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
26		nnnn0 9581	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 27	expcld 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
30		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
31		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
32	30, 31	fvmptg 5784	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
33	27, 29, 32	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
34	33, 29	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		absexp 11868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
36	4, 26, 35	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	33	fveq2d 5702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
38		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
40	39	recnd 8360	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
41	40, 27	expcld 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
42		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
44	42, 43	fvmptg 5784	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
45	38, 41, 44	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
46	36, 37, 45	3eqtr4rd 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
47	9, 20, 22, 25, 34, 46	climabs0 12098	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
48	19, 47	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   ↾ cres 4778  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ↑cexp 10996  abscabs 11785   ⇝ cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070

This theorem is used by:  explecnv  12297  geolim  12303  geo2lim  12308