Theorem expcnv 12249

Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)

Assertion

Ref	Expression
expcnv	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9545	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		resmpt 5106	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4		expcnv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	abscld 11925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		expcnv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
7	4	absge0d 11928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
8	5, 6, 7	expcnvre 12248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
9		nnuz 9937	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	9	reseq2i 5055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1))
11	10	breq1i 4132	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
12		1z 9649	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		nn0ex 9548	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	mptex 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
15		climres 12047	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
16	12, 14, 15	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
17	11, 16	bitri 184	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
18	8, 17	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0)
19	3, 18	eqbrtrrid 4161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
20		1zzd 9650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	13	mptex 5934	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
23		nnex 9289	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
24	23	mptex 5934	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
26		nnnn0 9549	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28, 27	expcld 11089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
30		oveq2 6083	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
31		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
32	30, 31	fvmptg 5775	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
33	27, 29, 32	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
34	33, 29	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		absexp 11823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
36	4, 26, 35	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	33	fveq2d 5694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
38		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
40	39	recnd 8344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
41	40, 27	expcld 11089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
42		oveq2 6083	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
44	42, 43	fvmptg 5775	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
45	38, 41, 44	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
46	36, 37, 45	3eqtr4rd 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘)))
47	9, 20, 22, 25, 34, 46	climabs0 12051	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
48	19, 47	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187   ↾ cres 4771  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   < clt 8350  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ↑cexp 10953  abscabs 11741   ⇝ cli 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023

This theorem is referenced by:  explecnv  12250  geolim  12256  geo2lim  12261