Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnv GIF version

Theorem expcnv 11280
 Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 8987 . . . 4 ℕ ⊆ ℕ0
2 resmpt 4867 . . . 4 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4 expcnv.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
54abscld 10960 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 expcnv.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
74absge0d 10963 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
85, 6, 7expcnvre 11279 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
9 nnuz 9368 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
109reseq2i 4816 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1))
1110breq1i 3936 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0)
12 1z 9087 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
13 nn0ex 8990 . . . . . . 7 0 ∈ V
1413mptex 5646 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
15 climres 11079 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
1612, 14, 15mp2an 422 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
1711, 16bitri 183 . . . 4 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
188, 17sylibr 133 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ↾ ℕ) ⇝ 0)
193, 18eqbrtrrid 3964 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 9088 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2113mptex 5646 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
2221a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
23 nnex 8733 . . . . 5 ℕ ∈ V
2423mptex 5646 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
2524a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
26 nnnn0 8991 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
284adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928, 27expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
30 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
31 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
3230, 31fvmptg 5497 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3327, 29, 32syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3433, 29eqeltrd 2216 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 absexp 10858 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
364, 26, 35syl2an 287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3733fveq2d 5425 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
38 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
395adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4039recnd 7801 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
4140, 27expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
42 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
43 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
4442, 43fvmptg 5497 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4538, 41, 44syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
4636, 37, 453eqtr4rd 2183 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
479, 20, 22, 25, 34, 46climabs0 11083 . 2 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
4819, 47mpbird 166 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989   ↾ cres 4541  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   < clt 7807  ℕcn 8727  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ↑cexp 10299  abscabs 10776   ⇝ cli 11054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055 This theorem is referenced by:  explecnv  11281  geolim  11287  geo2lim  11292
 Copyright terms: Public domain W3C validator