Theorem sin0pilem2 15287

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15286	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
2		2re 9108	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ)
4		elioore 10036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 8105	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
7		2t1e2 9192	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
8		1red 8089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 ∈ ℝ)
9		2rp 9782	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ+)
11		eliooord 10052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 < 𝑝)
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 1) < (2 · 𝑝))
14	7, 13	eqbrtrrid 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 < (2 · 𝑝))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 < (2 · 𝑝))
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < (2 · 2))
18		2t2e4 9193	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < 4)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) < 4)
21	2	rexri 8132	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
22		4re 9115	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
23	22	rexri 8132	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ*
24		elioo2 10045	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4)))
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4))
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1184	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ (2(,)4))
27	4	recnd 8103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℂ)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 𝑝 ∈ ℂ)
29		sin2t 12093	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
31		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (cos‘𝑝) = 0)
32	31	oveq2d 5962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
33	28	sincld 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
36	35	oveq2d 5962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
37		2cnd 9111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 8467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 0) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
40	30, 39	eqtrd 2238	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
41		fveq2 5578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
42	41	breq2d 4057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < (sin‘𝑦) ↔ 0 < (sin‘𝑥)))
43		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
45		elioore 10036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑝 < 𝑥)
49		eliooord 10052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
53	4	rexrd 8124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ*)
54	5	rexrd 8124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ*)
55		elioo2 10045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 · 𝑝) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)))
60	42, 44, 59	rspcdva 2882	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 0 < (sin‘𝑥))
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < 𝑥)
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 2 ∈ ℝ)
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 < 2)
66	61, 64, 65	ltled 8193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ≤ 2)
67		0xr 8121	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1184	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 12108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < (sin‘𝑥))
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
76		axltwlin 8142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2))
79	60, 72, 78	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
80	79	ralrimiva 2579	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
81		fveqeq2 5587	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ (sin‘(2 · 𝑝)) = 0))
82		oveq2 5954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (0(,)𝑞) = (0(,)(2 · 𝑝)))
83	82	raleqdv 2708	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) ↔ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
85	84	rspcev 2877	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
87	86	rexlimiva 2618	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦)) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
88	1, 87	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   class class class wbr 4045  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  ℂcc 7925  ℝcr 7926  0cc0 7927  1c1 7928   · cmul 7932  ℝ^*cxr 8108   < clt 8109   ≤ cle 8110  2c2 9089  4c4 9091  ℝ⁺crp 9777  (,)cioo 10012  (,]cioc 10013  sincsin 11988  cosccos 11989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047  ax-pre-suploc 8048  ax-addf 8049  ax-mulf 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-of 6160  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-map 6739  df-pm 6740  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-xadd 9897  df-ioo 10016  df-ioc 10017  df-ico 10018  df-icc 10019  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-fac 10873  df-bc 10895  df-ihash 10923  df-shft 11159  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698  df-ef 11992  df-sin 11994  df-cos 11995  df-rest 13106  df-topgen 13125  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-met 14340  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-ntr 14601  df-cn 14693  df-cnp 14694  df-tx 14758  df-cncf 15076  df-limced 15161  df-dvap 15162

This theorem is referenced by:  pilem3  15288