Theorem sin0pilem2 15773

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15772	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
2		2re 9324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ)
4		elioore 10264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 8320	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
7		2t1e2 9408	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
8		1red 8305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 ∈ ℝ)
9		2rp 10009	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ+)
11		eliooord 10280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 < 𝑝)
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 10104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 1) < (2 · 𝑝))
14	7, 13	eqbrtrrid 4150	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 < (2 · 𝑝))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 < (2 · 𝑝))
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 10104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < (2 · 2))
18		2t2e4 9409	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < 4)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) < 4)
21	2	rexri 8347	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
22		4re 9331	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
23	22	rexri 8347	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ*
24		elioo2 10273	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4)))
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4))
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ (2(,)4))
27	4	recnd 8318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℂ)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 𝑝 ∈ ℂ)
29		sin2t 12460	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
31		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (cos‘𝑝) = 0)
32	31	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
33	28	sincld 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
36	35	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
37		2cnd 9327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 8683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 0) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
40	30, 39	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
41		fveq2 5675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
42	41	breq2d 4126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < (sin‘𝑦) ↔ 0 < (sin‘𝑥)))
43		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
45		elioore 10264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑝 < 𝑥)
49		eliooord 10280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
53	4	rexrd 8339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ*)
54	5	rexrd 8339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ*)
55		elioo2 10273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 · 𝑝) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)))
60	42, 44, 59	rspcdva 2928	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 0 < (sin‘𝑥))
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < 𝑥)
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 2 ∈ ℝ)
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 < 2)
66	61, 64, 65	ltled 8408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ≤ 2)
67		0xr 8336	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < (sin‘𝑥))
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
76		axltwlin 8357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2))
79	60, 72, 78	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
80	79	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
81		fveqeq2 5684	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ (sin‘(2 · 𝑝)) = 0))
82		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (0(,)𝑞) = (0(,)(2 · 𝑝)))
83	82	raleqdv 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) ↔ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
85	84	rspcev 2923	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
87	86	rexlimiva 2657	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦)) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
88	1, 87	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325  2c2 9305  4c4 9307  ℝ⁺crp 10004  (,)cioo 10240  (,]cioc 10241  sincsin 12355  cosccos 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  pilem3  15774