Theorem sin0pilem2 15593

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15592	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
2		2re 9272	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ)
4		elioore 10208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 8269	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
7		2t1e2 9356	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
8		1red 8254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 ∈ ℝ)
9		2rp 9954	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ+)
11		eliooord 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 < 𝑝)
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 10049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 1) < (2 · 𝑝))
14	7, 13	eqbrtrrid 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 < (2 · 𝑝))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 < (2 · 𝑝))
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 10049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < (2 · 2))
18		2t2e4 9357	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < 4)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) < 4)
21	2	rexri 8296	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
22		4re 9279	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
23	22	rexri 8296	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ*
24		elioo2 10217	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4)))
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4))
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ (2(,)4))
27	4	recnd 8267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℂ)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 𝑝 ∈ ℂ)
29		sin2t 12390	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
31		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (cos‘𝑝) = 0)
32	31	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
33	28	sincld 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
36	35	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
37		2cnd 9275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 8631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 0) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
40	30, 39	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
41		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
42	41	breq2d 4105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < (sin‘𝑦) ↔ 0 < (sin‘𝑥)))
43		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
45		elioore 10208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑝 < 𝑥)
49		eliooord 10224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
53	4	rexrd 8288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ*)
54	5	rexrd 8288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ*)
55		elioo2 10217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 · 𝑝) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)))
60	42, 44, 59	rspcdva 2916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 0 < (sin‘𝑥))
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < 𝑥)
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 2 ∈ ℝ)
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 < 2)
66	61, 64, 65	ltled 8357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ≤ 2)
67		0xr 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 12405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < (sin‘𝑥))
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
76		axltwlin 8306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2))
79	60, 72, 78	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
80	79	ralrimiva 2606	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
81		fveqeq2 5657	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ (sin‘(2 · 𝑝)) = 0))
82		oveq2 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (0(,)𝑞) = (0(,)(2 · 𝑝)))
83	82	raleqdv 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) ↔ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
85	84	rspcev 2911	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
87	86	rexlimiva 2646	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦)) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
88	1, 87	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   · cmul 8097  ℝ^*cxr 8272   < clt 8273   ≤ cle 8274  2c2 9253  4c4 9255  ℝ⁺crp 9949  (,)cioo 10184  (,]cioc 10185  sincsin 12285  cosccos 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ioo 10188  df-ioc 10189  df-ico 10190  df-icc 10191  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-sin 12291  df-cos 12292  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468

This theorem is referenced by:  pilem3  15594