Theorem sin0pilem2 13497

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 13496	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
2		2re 8948	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ)
4		elioore 9869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 7950	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
6	5	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
7		2t1e2 9031	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
8		1red 7935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 ∈ ℝ)
9		2rp 9615	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ+)
11		eliooord 9885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
12	11	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 < 𝑝)
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 1) < (2 · 𝑝))
14	7, 13	eqbrtrrid 4025	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 < (2 · 𝑝))
15	14	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 < (2 · 𝑝))
16	11	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < (2 · 2))
18		2t2e4 9032	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < 4)
20	19	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) < 4)
21	2	rexri 7977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
22		4re 8955	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
23	22	rexri 7977	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ*
24		elioo2 9878	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4)))
25	21, 23, 24	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4))
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1176	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ (2(,)4))
27	4	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℂ)
28	27	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 𝑝 ∈ ℂ)
29		sin2t 11712	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
31		simprl 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (cos‘𝑝) = 0)
32	31	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
33	28	sincld 11673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
36	35	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
37		2cnd 8951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 8312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 0) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
40	30, 39	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
41		fveq2 5496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
42	41	breq2d 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < (sin‘𝑦) ↔ 0 < (sin‘𝑥)))
43		simprr 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
44	43	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
45		elioore 9869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑝 < 𝑥)
49		eliooord 9885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
50	49	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
51	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
52	51	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
53	4	rexrd 7969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ*)
54	5	rexrd 7969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ*)
55		elioo2 9878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 · 𝑝) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
56	53, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
57	56	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
58	57	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1175	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)))
60	42, 44, 59	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 0 < (sin‘𝑥))
61	46	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
63	62	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < 𝑥)
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 2 ∈ ℝ)
65		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 < 2)
66	61, 64, 65	ltled 8038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ≤ 2)
67		0xr 7966	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 9893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1176	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 11726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < (sin‘𝑥))
73	16	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
74	4	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
76		axltwlin 7987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2))
79	60, 72, 78	mpjaodan 793	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
80	79	ralrimiva 2543	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
81		fveqeq2 5505	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ (sin‘(2 · 𝑝)) = 0))
82		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (0(,)𝑞) = (0(,)(2 · 𝑝)))
83	82	raleqdv 2671	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
84	81, 83	anbi12d 470	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) ↔ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
85	84	rspcev 2834	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1231	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
87	86	rexlimiva 2582	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦)) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
88	1, 87	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  2c2 8929  4c4 8931  ℝ⁺crp 9610  (,)cioo 9845  (,]cioc 9846  sincsin 11607  cosccos 11608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  pilem3  13498