Theorem sin0pilem2 15525

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15524	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
2		2re 9213	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ)
4		elioore 10147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
5	3, 4	remulcld 8210	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
7		2t1e2 9297	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
8		1red 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 ∈ ℝ)
9		2rp 9893	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 ∈ ℝ+)
11		eliooord 10163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 1 < 𝑝)
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 1) < (2 · 𝑝))
14	7, 13	eqbrtrrid 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 2 < (2 · 𝑝))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 < (2 · 𝑝))
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < (2 · 2))
18		2t2e4 9298	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) < 4)
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) < 4)
21	2	rexri 8237	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
22		4re 9220	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
23	22	rexri 8237	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ*
24		elioo2 10156	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4)))
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 · 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 · 𝑝) ∧ (2 · 𝑝) < 4))
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 𝑝) ∈ (2(,)4))
27	4	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℂ)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 𝑝 ∈ ℂ)
29		sin2t 12328	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
31		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (cos‘𝑝) = 0)
32	31	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
33	28	sincld 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
36	35	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
37		2cnd 9216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → 2 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 8572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · 0) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
40	30, 39	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
41		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
42	41	breq2d 4100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < (sin‘𝑦) ↔ 0 < (sin‘𝑥)))
43		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))
45		elioore 10147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑝 < 𝑥)
49		eliooord 10163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝)) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
53	4	rexrd 8229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ*)
54	5	rexrd 8229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ*)
55		elioo2 10156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 · 𝑝) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝))))
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)))
60	42, 44, 59	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑝 < 𝑥) → 0 < (sin‘𝑥))
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → (0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < 𝑥)
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 2 ∈ ℝ)
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 < 2)
66	61, 64, 65	ltled 8298	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ≤ 2)
67		0xr 8226	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 10171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) ∧ 𝑥 < 2) → 0 < (sin‘𝑥))
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
76		axltwlin 8247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 2 → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2)))
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → (𝑝 < 𝑥 ∨ 𝑥 < 2))
79	60, 72, 78	mpjaodan 805	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
80	79	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
81		fveqeq2 5648	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ (sin‘(2 · 𝑝)) = 0))
82		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (0(,)𝑞) = (0(,)(2 · 𝑝)))
83	82	raleqdv 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (2 · 𝑝) → (((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) ↔ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
85	84	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘(2 · 𝑝)) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦))) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
87	86	rexlimiva 2645	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑦)) → ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)))
88	1, 87	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215  2c2 9194  4c4 9196  ℝ⁺crp 9888  (,)cioo 10123  (,]cioc 10124  sincsin 12223  cosccos 12224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11393  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857  df-sumdc 11932  df-ef 12227  df-sin 12229  df-cos 12230  df-rest 13342  df-topgen 13361  df-psmet 14576  df-xmet 14577  df-met 14578  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-top 14741  df-topon 14754  df-bases 14786  df-ntr 14839  df-cn 14931  df-cnp 14932  df-tx 14996  df-cncf 15314  df-limced 15399  df-dvap 15400

This theorem is referenced by:  pilem3  15526