ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin0pilem2 GIF version

Theorem sin0pilem2 14206
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem2 βˆƒπ‘ž ∈ (2(,)4)((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,π‘ž

Proof of Theorem sin0pilem2
Dummy variables 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem1 14205 . 2 βˆƒπ‘ ∈ (1(,)2)((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))
2 2re 8989 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 9 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 2 ∈ ℝ)
4 elioore 9912 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 7988 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (2 Β· 𝑝) ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· 𝑝) ∈ ℝ)
7 2t1e2 9072 . . . . . . 7 (2 Β· 1) = 2
8 1red 7972 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 1 ∈ ℝ)
9 2rp 9658 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
109a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 2 ∈ ℝ+)
11 eliooord 9928 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
1211simpld 112 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 1 < 𝑝)
138, 4, 10, 12ltmul2dd 9753 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (2 Β· 1) < (2 Β· 𝑝))
147, 13eqbrtrrid 4040 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 2 < (2 Β· 𝑝))
1514adantr 276 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ 2 < (2 Β· 𝑝))
1611simprd 114 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 𝑝 < 2)
174, 3, 10, 16ltmul2dd 9753 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (2 Β· 𝑝) < (2 Β· 2))
18 2t2e4 9073 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
1917, 18breqtrdi 4045 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (2 Β· 𝑝) < 4)
2019adantr 276 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· 𝑝) < 4)
212rexri 8015 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
22 4re 8996 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2322rexri 8015 . . . . . 6 4 ∈ ℝ*
24 elioo2 9921 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) β†’ ((2 Β· 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 Β· 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 Β· 𝑝) ∧ (2 Β· 𝑝) < 4)))
2521, 23, 24mp2an 426 . . . . 5 ((2 Β· 𝑝) ∈ (2(,)4) ↔ ((2 Β· 𝑝) ∈ ℝ ∧ 2 < (2 Β· 𝑝) ∧ (2 Β· 𝑝) < 4))
266, 15, 20, 25syl3anbrc 1181 . . . 4 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· 𝑝) ∈ (2(,)4))
274recnd 7986 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
2827adantr 276 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
29 sin2t 11757 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = (2 Β· ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘))))
3028, 29syl 14 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = (2 Β· ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘))))
31 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (cosβ€˜π‘) = 0)
3231oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘)) = ((sinβ€˜π‘) Β· 0))
3328sincld 11718 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (sinβ€˜π‘) ∈ β„‚)
3433mul01d 8350 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ ((sinβ€˜π‘) Β· 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘)) = 0)
3635oveq2d 5891 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘))) = (2 Β· 0))
37 2cnd 8992 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ 2 ∈ β„‚)
3837mul01d 8350 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· 0) = 0)
3936, 38eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜π‘) Β· (cosβ€˜π‘))) = 0)
4030, 39eqtrd 2210 . . . 4 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = 0)
41 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜π‘₯))
4241breq2d 4016 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 < (sinβ€˜π‘¦) ↔ 0 < (sinβ€˜π‘₯)))
43 simprr 531 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))
4443ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))
45 elioore 9912 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4645adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4746adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
48 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ 𝑝 < π‘₯)
49 eliooord 9928 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝)) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝)))
5049adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝)))
5150adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝)))
5251simprd 114 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ π‘₯ < (2 Β· 𝑝))
534rexrd 8007 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ 𝑝 ∈ ℝ*)
545rexrd 8007 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (2 Β· 𝑝) ∈ ℝ*)
55 elioo2 9921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· 𝑝) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑝 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝))))
5653, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1(,)2) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑝 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝))))
5756adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑝 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝))))
5857ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑝 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝))))
5947, 48, 52, 58mpbir3and 1180 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝)))
6042, 44, 59rspcdva 2847 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ 𝑝 < π‘₯) β†’ 0 < (sinβ€˜π‘₯))
6146adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6250adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (2 Β· 𝑝)))
6362simpld 112 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ 0 < π‘₯)
642a1i 9 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ 2 ∈ ℝ)
65 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ π‘₯ < 2)
6661, 64, 65ltled 8076 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ π‘₯ ≀ 2)
67 0xr 8004 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
68 elioc2 9936 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,]2) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 2)))
6967, 2, 68mp2an 426 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,]2) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 2))
7061, 63, 66, 69syl3anbrc 1181 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ π‘₯ ∈ (0(,]2))
71 sin02gt0 11771 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π‘₯))
7270, 71syl 14 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) ∧ π‘₯ < 2) β†’ 0 < (sinβ€˜π‘₯))
7316ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ 𝑝 < 2)
744ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
752a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ 2 ∈ ℝ)
76 axltwlin 8025 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑝 < 2 β†’ (𝑝 < π‘₯ ∨ π‘₯ < 2)))
7774, 75, 46, 76syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ (𝑝 < 2 β†’ (𝑝 < π‘₯ ∨ π‘₯ < 2)))
7873, 77mpd 13 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ (𝑝 < π‘₯ ∨ π‘₯ < 2))
7960, 72, 78mpjaodan 798 . . . . 5 (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))) β†’ 0 < (sinβ€˜π‘₯))
8079ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘₯))
81 fveqeq2 5525 . . . . . 6 (π‘ž = (2 Β· 𝑝) β†’ ((sinβ€˜π‘ž) = 0 ↔ (sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = 0))
82 oveq2 5883 . . . . . . 7 (π‘ž = (2 Β· 𝑝) β†’ (0(,)π‘ž) = (0(,)(2 Β· 𝑝)))
8382raleqdv 2679 . . . . . 6 (π‘ž = (2 Β· 𝑝) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘₯)))
8481, 83anbi12d 473 . . . . 5 (π‘ž = (2 Β· 𝑝) β†’ (((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯)) ↔ ((sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘₯))))
8584rspcev 2842 . . . 4 (((2 Β· 𝑝) ∈ (2(,)4) ∧ ((sinβ€˜(2 Β· 𝑝)) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (2(,)4)((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯)))
8626, 40, 80, 85syl12anc 1236 . . 3 ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ ((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (2(,)4)((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯)))
8786rexlimiva 2589 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ (1(,)2)((cosβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑝(,)(2 Β· 𝑝))0 < (sinβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (2(,)4)((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯)))
881, 87ax-mp 5 1 βˆƒπ‘ž ∈ (2(,)4)((sinβ€˜π‘ž) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)π‘ž)0 < (sinβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   Β· cmul 7816  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993  2c2 8970  4c4 8972  β„+crp 9653  (,)cioo 9888  (,]cioc 9889  sincsin 11652  cosccos 11653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  pilem3  14207
  Copyright terms: Public domain W3C validator