Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos0pilt1 GIF version

Theorem cos0pilt1 12955
 Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and π. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
cos0pilt1 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem cos0pilt1
StepHypRef Expression
1 elioore 9707 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 11442 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3 cospi 12903 . . 3 (cos‘π) = -1
4 ioossicc 9754 . . . . 5 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
54sseli 3093 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
6 0xr 7824 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
7 pire 12889 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
87rexri 7835 . . . . . 6 π ∈ ℝ*
9 0re 7778 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
10 pipos 12891 . . . . . . 7 0 < π
119, 7, 10ltleii 7878 . . . . . 6 0 ≤ π
12 ubicc2 9780 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
136, 8, 11, 12mp3an 1315 . . . . 5 π ∈ (0[,]π)
1413a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)π) → π ∈ (0[,]π))
15 eliooord 9723 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝐴𝐴 < π))
1615simprd 113 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 < π)
175, 14, 16cosordlem 12952 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘π) < (cos‘𝐴))
183, 17eqbrtrrid 3964 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) → -1 < (cos‘𝐴))
19 2re 8802 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2019, 7remulcli 7792 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
2120rexri 7835 . . . . 5 (2 · π) ∈ ℝ*
22 1le2 8940 . . . . . 6 1 ≤ 2
23 lemulge12 8637 . . . . . 6 (((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ π ∧ 1 ≤ 2)) → π ≤ (2 · π))
247, 19, 11, 22, 23mp4an 423 . . . . 5 π ≤ (2 · π)
25 iooss2 9712 . . . . 5 (((2 · π) ∈ ℝ* ∧ π ≤ (2 · π)) → (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π)))
2621, 24, 25mp2an 422 . . . 4 (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π))
2726sseli 3093 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28 cos02pilt1 12954 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
2927, 28syl 14 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) < 1)
30 neg1rr 8838 . . . 4 -1 ∈ ℝ
3130rexri 7835 . . 3 -1 ∈ ℝ*
32 1re 7777 . . . 4 1 ∈ ℝ
3332rexri 7835 . . 3 1 ∈ ℝ*
34 elioo2 9716 . . 3 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1)))
3531, 33, 34mp2an 422 . 2 ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1))
362, 18, 29, 35syl3anbrc 1165 1 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   · cmul 7637  ℝ*cxr 7811   < clt 7812   ≤ cle 7813  -cneg 7946  2c2 8783  (,)cioo 9683  [,]cicc 9686  cosccos 11363  πcpi 11365 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-pre-suploc 7753  ax-addf 7754  ax-mulf 7755 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-ioc 9688  df-ico 9689  df-icc 9690  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-bc 10506  df-ihash 10534  df-shft 10599  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366  df-sin 11368  df-cos 11369  df-pi 11371  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-ntr 12279  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-cncf 12741  df-limced 12808  df-dvap 12809 This theorem is referenced by:  ioocosf1o  12957
 Copyright terms: Public domain W3C validator