Theorem cos0pilt1 13526

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and π. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 11674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3		cospi 13474	. . 3 ⊢ (cos‘π) = -1
4		ioossicc 9903	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
5	4	sseli 3143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
6		0xr 7953	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pire 13460	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
8	7	rexri 7964	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
9		0re 7907	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		pipos 13462	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
11	9, 7, 10	ltleii 8009	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
12		ubicc2 9929	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1332	. . . . 5 ⊢ π ∈ (0[,]π)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → π ∈ (0[,]π))
15		eliooord 9872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
16	15	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 < π)
17	5, 14, 16	cosordlem 13523	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘π) < (cos‘𝐴))
18	3, 17	eqbrtrrid 4023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → -1 < (cos‘𝐴))
19		2re 8935	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 7	remulcli 7921	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
21	20	rexri 7964	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
22		1le2 9073	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
23		lemulge12 8770	. . . . . 6 ⊢ (((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ π ∧ 1 ≤ 2)) → π ≤ (2 · π))
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 425	. . . . 5 ⊢ π ≤ (2 · π)
25		iooss2 9861	. . . . 5 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ* ∧ π ≤ (2 · π)) → (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π)))
26	21, 24, 25	mp2an 424	. . . 4 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π))
27	26	sseli 3143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28		cos02pilt1 13525	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
29	27, 28	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) < 1)
30		neg1rr 8971	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 7964	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32		1re 7906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	32	rexri 7964	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		elioo2 9865	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1)))
35	31, 33, 34	mp2an 424	. 2 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1))
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1176	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℝcr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   · cmul 7766  ℝ^*cxr 7940   < clt 7941   ≤ cle 7942  -cneg 8078  2c2 8916  (,)cioo 9832  [,]cicc 9835  cosccos 11595  πcpi 11597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881  ax-pre-suploc 7882  ax-addf 7883  ax-mulf 7884

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-of 6058  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-map 6624  df-pm 6625  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-ioo 9836  df-ioc 9837  df-ico 9838  df-icc 9839  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-shft 10766  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601  df-pi 11603  df-rest 12568  df-topgen 12587  df-psmet 12740  df-xmet 12741  df-met 12742  df-bl 12743  df-mopn 12744  df-top 12749  df-topon 12762  df-bases 12794  df-ntr 12849  df-cn 12941  df-cnp 12942  df-tx 13006  df-cncf 13311  df-limced 13378  df-dvap 13379

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  13528