Theorem cos0pilt1 15439

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and π. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10069	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 12150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3		cospi 15387	. . 3 ⊢ (cos‘π) = -1
4		ioossicc 10116	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
5	4	sseli 3197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
6		0xr 8154	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pire 15373	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
8	7	rexri 8165	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
9		0re 8107	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		pipos 15375	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
11	9, 7, 10	ltleii 8210	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
12		ubicc2 10142	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ π ∈ (0[,]π)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → π ∈ (0[,]π))
15		eliooord 10085	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
16	15	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 < π)
17	5, 14, 16	cosordlem 15436	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘π) < (cos‘𝐴))
18	3, 17	eqbrtrrid 4095	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → -1 < (cos‘𝐴))
19		2re 9141	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 7	remulcli 8121	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
21	20	rexri 8165	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
22		1le2 9280	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
23		lemulge12 8975	. . . . . 6 ⊢ (((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ π ∧ 1 ≤ 2)) → π ≤ (2 · π))
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 427	. . . . 5 ⊢ π ≤ (2 · π)
25		iooss2 10074	. . . . 5 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ* ∧ π ≤ (2 · π)) → (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π)))
26	21, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π))
27	26	sseli 3197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28		cos02pilt1 15438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
29	27, 28	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) < 1)
30		neg1rr 9177	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 8165	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32		1re 8106	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	32	rexri 8165	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		elioo2 10078	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1)))
35	31, 33, 34	mp2an 426	. 2 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1))
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   · cmul 7965  ℝ^*cxr 8141   < clt 8142   ≤ cle 8143  -cneg 8279  2c2 9122  (,)cioo 10045  [,]cicc 10048  cosccos 12071  πcpi 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-pm 6761  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-ioc 10050  df-ico 10051  df-icc 10052  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-shft 11241  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-ef 12074  df-sin 12076  df-cos 12077  df-pi 12079  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  15441