Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expge1 GIF version

Theorem expge1 10360
 Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3940 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝐴))
21elrab 2843 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 3186 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 7735 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3110 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 3940 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑥))
76elrab 2843 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8 breq2 3940 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑦))
98elrab 2843 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦))
10 remulcl 7771 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1110ad2ant2r 501 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12 1t1e1 8895 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
13 1re 7788 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
14 0le1 8266 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
1513, 14pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
1615jctl 312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
1715jctl 312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
18 lemul12a 8643 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1916, 17, 18syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2019imp 123 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
2112, 20eqbrtrrid 3971 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
2221an4s 578 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
23 breq2 3940 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2423elrab 2843 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2511, 22, 24sylanbrc 414 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
267, 9, 25syl2anb 289 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
27 1le1 8357 . . . . . . 7 1 ≤ 1
28 breq2 3940 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 1))
2928elrab 2843 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1))
3013, 27, 29mpbir2an 927 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}
315, 26, 30expcllem 10334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
322, 31sylanbr 283 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
33323impa 1177 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
34333com23 1188 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
35 breq2 3940 . . . 4 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3635elrab 2843 . . 3 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3736simprbi 273 . 2 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} → 1 ≤ (𝐴𝑁))
3834, 37syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  ℂcc 7641  ℝcr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   · cmul 7648   ≤ cle 7824  ℕ0cn0 9000  ↑cexp 10322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249  df-exp 10323 This theorem is referenced by:  expgt1  10361  leexp2a  10376  expge1d  10473
 Copyright terms: Public domain W3C validator