ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodge1 GIF version

Theorem fprodge1 11666
Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodge1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodge1.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodge1.ge ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 8035 . 2 1 โˆˆ โ„*
2 pnfxr 8029 . 2 +โˆž โˆˆ โ„*
3 fprodge1.ph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 1re 7975 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
5 icossre 9973 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1[,)+โˆž) โІ โ„)
64, 2, 5mp2an 426 . . . . 5 (1[,)+โˆž) โІ โ„
7 ax-resscn 7922 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
86, 7sstri 3179 . . . 4 (1[,)+โˆž) โІ โ„‚
98a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1[,)+โˆž) โІ โ„‚)
101a1i 9 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
112a1i 9 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
126sseli 3166 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1312adantr 276 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
146sseli 3166 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1514adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1613, 15remulcld 8007 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1716rexrd 8026 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
18 1t1e1 9090 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
194a1i 9 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
20 0le1 8457 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
2120a1i 9 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
22 icogelb 10285 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
231, 2, 22mp3an12 1338 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
2423adantr 276 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
25 icogelb 10285 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
261, 2, 25mp3an12 1338 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
2726adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
2819, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27lemul12ad 8918 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2918, 28eqbrtrrid 4054 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
3016ltpnfd 9800 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) < +โˆž)
3110, 11, 17, 29, 30elicod 10284 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (1[,)+โˆž))
3231adantl 277 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (1[,)+โˆž))
33 fprodge1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
341a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
352a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
36 fprodge1.b . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3736rexrd 8026 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
38 fprodge1.ge . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
3936ltpnfd 9800 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต < +โˆž)
4034, 35, 37, 38, 39elicod 10284 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž))
41 1le1 8548 . . . . 5 1 โ‰ค 1
42 ltpnf 9799 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 < +โˆž)
434, 42ax-mp 5 . . . . 5 1 < +โˆž
44 elico2 9956 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1 โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž)))
454, 2, 44mp2an 426 . . . . 5 (1 โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž))
464, 41, 43, 45mpbir3an 1181 . . . 4 1 โˆˆ (1[,)+โˆž)
4746a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (1[,)+โˆž))
483, 9, 32, 33, 40, 47fprodcllemf 11640 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž))
49 icogelb 10285 . 2 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
501, 2, 48, 49mp3an12i 1352 1 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 980  โ„ฒwnf 1471   โˆˆ wcel 2160   โІ wss 3144   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  Fincfn 6758  โ„‚cc 7828  โ„cr 7829  0cc0 7830  1c1 7831   ยท cmul 7835  +โˆžcpnf 8008  โ„*cxr 8010   < clt 8011   โ‰ค cle 8012  [,)cico 9909  โˆcprod 11577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-ico 9913  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-proddc 11578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator