Theorem fprodge1 11660

Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge1.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 8029	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 8023	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge1.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		1re 7969	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		icossre 9967	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7		ax-resscn 7916	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3176	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℂ
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
10	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
11	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
12	6	sseli 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	6	sseli 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 8001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 8020	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18		1t1e1 9084	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20		0le1 8451	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22		icogelb 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
23	1, 2, 22	mp3an12 1337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25		icogelb 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
26	1, 2, 25	mp3an12 1337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
28	19, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27	lemul12ad 8912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
29	18, 28	eqbrtrrid 4051	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
30	16	ltpnfd 9794	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
31	10, 11, 17, 29, 30	elicod 10278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
32	31	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33		fprodge1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
35	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36		fprodge1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 8020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		fprodge1.ge	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
39	36	ltpnfd 9794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
40	34, 35, 37, 38, 39	elicod 10278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41		1le1 8542	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
42		ltpnf 9793	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
44		elico2 9950	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
45	4, 2, 44	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
46	4, 41, 43, 45	mpbir3an 1180	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
47	46	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
48	3, 9, 32, 33, 40, 47	fprodcllemf 11634	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49		icogelb 10279	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	1, 2, 48, 49	mp3an12i 1351	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979  Ⅎwnf 1470   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  ℂcc 7822  ℝcr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   · cmul 7829  +∞cpnf 8002  ℝ^*cxr 8004   < clt 8005   ≤ cle 8006  [,)cico 9903  ∏cprod 11571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-ico 9907  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-proddc 11572

This theorem is referenced by: (None)