Theorem addgtge0 8780

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgtge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgtge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8469	. 2 ⊢ (0 + 0) = 0
2		0re 8327	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltleadd 8776	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵)))
4	2, 2, 3	mpanl12 440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵)))
5	4	imp 124	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 + 0) < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 5	eqbrtrrid 4166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  addgtge0d  8850  recexaplem2  8983  recp1lt1  9232  resqrexlem1arp  11786  resqrexlemp1rp  11787  resqrexlemglsq  11803