Theorem f1cocnv2 5549

Description: Composition of an injective function with its converse. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cocnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))

Proof of Theorem f1cocnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fun 5483	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funcocnv2 5546	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   I cid 4334  ^◡ccnv 4673  ran crn 4675   ↾ cres 4676   ∘ ccom 4678  Fun wfun 5264  –1-1→wf1 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275

This theorem is referenced by: (None)