Theorem feq12d 5421

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 5418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 5419	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ⟶wf 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280

This theorem is referenced by:  feq123d  5422  smoeq  6383  lmbr2  14730  lmff  14765  limccl  15175  ellimc3apf  15176  uhgr0e  15722  incistruhgr  15730  bj-charfundcALT  15819