Theorem feq12d 5497

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feq12d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Proof of Theorem feq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2	1	feq1d 5494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐶))
3		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	feq2d 5495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⟶wf 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355

This theorem is referenced by:  feq123d  5498  smoeq  6520  lmbr2  15066  lmff  15101  limccl  15511  ellimc3apf  15512  uhgr0e  16064  incistruhgr  16072  upgr1edc  16103  umgr1een  16107  iswlk  16305  bj-charfundcALT  16566