Theorem ellimc3apf 15454

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimc3.nf	⊢ Ⅎ𝑧𝐹

Assertion

Ref	Expression
ellimc3apf	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ellimc3apf

Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8199	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		ellimc3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4		ellimc3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		elpm2r 6878	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
6	2, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
7		ellimc3.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	1	rabex 4239	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑓 = 𝐹)
11	10	dmeqd 4939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
12	10, 11	feq12d 5479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ))
13	11	sseq1d 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (dom 𝑓 ⊆ ℂ ↔ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
16	15	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
17		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧dom 𝑓
18		ellimc3.nf	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧𝐹
19	18	nfdm 4982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧dom 𝐹
20	17, 19	raleqf 2727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑓 = dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
22	18	nfeq2 2387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑓 = 𝐹
23		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 = 𝐵
24	22, 23	nfan 1614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵)
25	15	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑧 # 𝐵))
26	15	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑧 − 𝑤) = (𝑧 − 𝐵))
27	26	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝑤)) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
28	27	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
29	25, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) ↔ (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)))
30	10	fveq1d 5650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
31	30	fvoveq1d 6050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)))
32	31	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))
33	29, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
34	24, 33	ralbid 2531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
36	35	rexbidv 2534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
37	36	ralbidv 2533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
38	16, 37	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))))
39	14, 38	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))))
40	39	rabbidv 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
41		df-limced 15450	. . . . . 6 ⊢ limℂ = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑤 ∈ ℂ ↦ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
42	40, 41	ovmpoga 6161	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V) → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
43	6, 7, 9, 42	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
44	43	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))}))
45		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑧) − 𝑢) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
46	45	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
47	46	breq1d 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))
48	47	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
49	48	ralbidv 2533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
50	49	rexbidv 2534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
51	50	ralbidv 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
52	51	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
53	52	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
54	53	elrab 2963	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
55	44, 54	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))))
56	7	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
57	3	fdmd 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
58	57	feq2d 5477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
59	3, 58	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
60	57, 4	eqsstrd 3264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
61		ibar 301	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
62	59, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
63	56, 62	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
64	63	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))))
65		nfcv 2375	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
66	19, 65	raleqf 2727	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
67	57, 66	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
68	67	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
69	68	ralbidv 2533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
70	69	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
71	55, 64, 70	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Ⅎwnfc 2362  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {crab 2515  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ↑_pm cpm 6861  ℂcc 8073   < clt 8256   − cmin 8392   # cap 8803  ℝ⁺crp 9932  abscabs 11620   lim_ℂ climc 15448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pm 6863  df-limced 15450

This theorem is referenced by:  ellimc3ap  15455  limcmpted  15457