Theorem ellimc3apf 15525

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimc3.nf	⊢ Ⅎ𝑧𝐹

Assertion

Ref	Expression
ellimc3apf	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ellimc3apf

Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8251	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		ellimc3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4		ellimc3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		elpm2r 6900	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
6	2, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
7		ellimc3.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	1	rabex 4256	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V)
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑓 = 𝐹)
11	10	dmeqd 4958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
12	10, 11	feq12d 5498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ))
13	11	sseq1d 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (dom 𝑓 ⊆ ℂ ↔ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
16	15	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
17		nfcv 2384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧dom 𝑓
18		ellimc3.nf	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧𝐹
19	18	nfdm 5001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧dom 𝐹
20	17, 19	raleqf 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑓 = dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
22	18	nfeq2 2396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑓 = 𝐹
23		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 = 𝐵
24	22, 23	nfan 1614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵)
25	15	breq2d 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑧 # 𝐵))
26	15	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑧 − 𝑤) = (𝑧 − 𝐵))
27	26	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (abs‘(𝑧 − 𝑤)) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
28	27	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
29	25, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) ↔ (𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)))
30	10	fveq1d 5672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
31	30	fvoveq1d 6072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)))
32	31	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))
33	29, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
34	24, 33	ralbid 2540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
36	35	rexbidv 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
37	36	ralbidv 2542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))
38	16, 37	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))))
39	14, 38	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → (((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))))
40	39	rabbidv 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑤 = 𝐵) → {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
41		df-limced 15521	. . . . . 6 ⊢ limℂ = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑤 ∈ ℂ ↦ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓((𝑧 # 𝑤 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑤)) < 𝑦) → (abs‘((𝑓‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
42	40, 41	ovmpoga 6183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ∈ V) → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
43	6, 7, 9, 42	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))})
44	43	eleq2d 2302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))}))
45		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑧) − 𝑢) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
46	45	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
47	46	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))
48	47	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
49	48	ralbidv 2542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
50	49	rexbidv 2543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
51	50	ralbidv 2542	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
52	51	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
53	52	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐶 → (((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥))) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
54	53	elrab 2973	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑢)) < 𝑥)))} ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
55	44, 54	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))))
56	7	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
57	3	fdmd 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
58	57	feq2d 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
59	3, 58	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
60	57, 4	eqsstrd 3274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
61		ibar 301	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
62	59, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
63	56, 62	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))))
64	63	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))))
65		nfcv 2384	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
66	19, 65	raleqf 2737	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
67	57, 66	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
68	67	rexbidv 2543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
69	68	ralbidv 2542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)))
70	69	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
71	55, 64, 70	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Ⅎwnfc 2371  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ↑_pm cpm 6883  ℂcc 8125   < clt 8308   − cmin 8444   # cap 8855  ℝ⁺crp 9986  abscabs 11682   lim_ℂ climc 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pm 6885  df-limced 15521

This theorem is referenced by:  ellimc3ap  15526  limcmpted  15528