Theorem renemnf 8338

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8332	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2511	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2468	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ℝcr 8142  -∞cmnf 8322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327

This theorem is referenced by:  renemnfd  8341  renfdisj  8349  ltxrlt  8355  xrnemnf  10129  xrlttri3  10149  ngtmnft  10169  xrrebnd  10171  rexneg  10182  xrmnfdc  10195  rexadd  10204  xaddnemnf  10209  xaddcom  10213  xaddid1  10214  xnegdi  10220  xpncan  10223  xleadd1a  10225  xltadd1  10228  xposdif  10234  xrmaxrecl  11965  isxmet2d  15339