Theorem renemnf 8008

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8002	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2444	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2240	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 675	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2401	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ℝcr 7812  -∞cmnf 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-pnf 7996  df-mnf 7997

This theorem is referenced by:  renemnfd  8011  renfdisj  8019  ltxrlt  8025  xrnemnf  9779  xrlttri3  9799  ngtmnft  9819  xrrebnd  9821  rexneg  9832  xrmnfdc  9845  rexadd  9854  xaddnemnf  9859  xaddcom  9863  xaddid1  9864  xnegdi  9870  xpncan  9873  xleadd1a  9875  xltadd1  9878  xposdif  9884  xrmaxrecl  11265  isxmet2d  13933