Theorem renemnf 8120

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8114	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2472	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2429	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ℝcr 7923  -∞cmnf 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-pnf 8108  df-mnf 8109

This theorem is referenced by:  renemnfd  8123  renfdisj  8131  ltxrlt  8137  xrnemnf  9898  xrlttri3  9918  ngtmnft  9938  xrrebnd  9940  rexneg  9951  xrmnfdc  9964  rexadd  9973  xaddnemnf  9978  xaddcom  9982  xaddid1  9983  xnegdi  9989  xpncan  9992  xleadd1a  9994  xltadd1  9997  xposdif  10003  xrmaxrecl  11537  isxmet2d  14791