Theorem renemnf 8092

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8086	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2464	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ℝcr 7895  -∞cmnf 8076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081

This theorem is referenced by:  renemnfd  8095  renfdisj  8103  ltxrlt  8109  xrnemnf  9869  xrlttri3  9889  ngtmnft  9909  xrrebnd  9911  rexneg  9922  xrmnfdc  9935  rexadd  9944  xaddnemnf  9949  xaddcom  9953  xaddid1  9954  xnegdi  9960  xpncan  9963  xleadd1a  9965  xltadd1  9968  xposdif  9974  xrmaxrecl  11437  isxmet2d  14668