Theorem renemnf 7814

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7808	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2405	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2202	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 664	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2362	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ℝcr 7619  -∞cmnf 7798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7802  df-mnf 7803

This theorem is referenced by:  renemnfd  7817  renfdisj  7824  ltxrlt  7830  xrnemnf  9564  xrlttri3  9583  ngtmnft  9600  xrrebnd  9602  rexneg  9613  xrmnfdc  9626  rexadd  9635  xaddnemnf  9640  xaddcom  9644  xaddid1  9645  xnegdi  9651  xpncan  9654  xleadd1a  9656  xltadd1  9659  xposdif  9665  xrmaxrecl  11024  isxmet2d  12517