Theorem renemnf 8156

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8150	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2475	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2270	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ℝcr 7959  -∞cmnf 8140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-pnf 8144  df-mnf 8145

This theorem is referenced by:  renemnfd  8159  renfdisj  8167  ltxrlt  8173  xrnemnf  9934  xrlttri3  9954  ngtmnft  9974  xrrebnd  9976  rexneg  9987  xrmnfdc  10000  rexadd  10009  xaddnemnf  10014  xaddcom  10018  xaddid1  10019  xnegdi  10025  xpncan  10028  xleadd1a  10030  xltadd1  10033  xposdif  10039  xrmaxrecl  11681  isxmet2d  14935