ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  renemnf GIF version

Theorem renemnf 7968
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 7962 . . . 4 -∞ ∉ ℝ
21neli 2437 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℝ
3 eleq1 2233 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
42, 3mtbiri 670 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54necon2ai 2394 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  cr 7773  -∞cmnf 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-mnf 7957
This theorem is referenced by:  renemnfd  7971  renfdisj  7979  ltxrlt  7985  xrnemnf  9734  xrlttri3  9754  ngtmnft  9774  xrrebnd  9776  rexneg  9787  xrmnfdc  9800  rexadd  9809  xaddnemnf  9814  xaddcom  9818  xaddid1  9819  xnegdi  9825  xpncan  9828  xleadd1a  9830  xltadd1  9833  xposdif  9839  xrmaxrecl  11218  isxmet2d  13142
  Copyright terms: Public domain W3C validator