Theorem renemnf 8191

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8185	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2497	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ℝcr 7994  -∞cmnf 8175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-pnf 8179  df-mnf 8180

This theorem is referenced by:  renemnfd  8194  renfdisj  8202  ltxrlt  8208  xrnemnf  9969  xrlttri3  9989  ngtmnft  10009  xrrebnd  10011  rexneg  10022  xrmnfdc  10035  rexadd  10044  xaddnemnf  10049  xaddcom  10053  xaddid1  10054  xnegdi  10060  xpncan  10063  xleadd1a  10065  xltadd1  10068  xposdif  10074  xrmaxrecl  11761  isxmet2d  15016