Theorem renemnf 8270

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8264	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2500	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2457	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ℝcr 8074  -∞cmnf 8254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-mnf 8259

This theorem is referenced by:  renemnfd  8273  renfdisj  8281  ltxrlt  8287  xrnemnf  10056  xrlttri3  10076  ngtmnft  10096  xrrebnd  10098  rexneg  10109  xrmnfdc  10122  rexadd  10131  xaddnemnf  10136  xaddcom  10140  xaddid1  10141  xnegdi  10147  xpncan  10150  xleadd1a  10152  xltadd1  10155  xposdif  10161  xrmaxrecl  11878  isxmet2d  15142