Theorem renemnf 8218

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8212	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2497	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ℝcr 8021  -∞cmnf 8202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-pnf 8206  df-mnf 8207

This theorem is referenced by:  renemnfd  8221  renfdisj  8229  ltxrlt  8235  xrnemnf  10002  xrlttri3  10022  ngtmnft  10042  xrrebnd  10044  rexneg  10055  xrmnfdc  10068  rexadd  10077  xaddnemnf  10082  xaddcom  10086  xaddid1  10087  xnegdi  10093  xpncan  10096  xleadd1a  10098  xltadd1  10101  xposdif  10107  xrmaxrecl  11806  isxmet2d  15062