Theorem renemnf 7738

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7732	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2379	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2177	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 647	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2336	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ℝcr 7546  -∞cmnf 7722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-pnf 7726  df-mnf 7727

This theorem is referenced by:  renemnfd  7741  renfdisj  7748  ltxrlt  7754  xrnemnf  9457  xrlttri3  9476  ngtmnft  9493  xrrebnd  9495  rexneg  9506  xrmnfdc  9519  rexadd  9528  xaddnemnf  9533  xaddcom  9537  xaddid1  9538  xnegdi  9544  xpncan  9547  xleadd1a  9549  xltadd1  9552  xposdif  9558  xrmaxrecl  10916  isxmet2d  12337