Theorem renemnf 8228

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8222	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2499	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 681	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2456	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ℝcr 8031  -∞cmnf 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-mnf 8217

This theorem is referenced by:  renemnfd  8231  renfdisj  8239  ltxrlt  8245  xrnemnf  10012  xrlttri3  10032  ngtmnft  10052  xrrebnd  10054  rexneg  10065  xrmnfdc  10078  rexadd  10087  xaddnemnf  10092  xaddcom  10096  xaddid1  10097  xnegdi  10103  xpncan  10106  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xposdif  10117  xrmaxrecl  11820  isxmet2d  15078