Theorem renemnf 8380

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8374	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ℝcr 8184  -∞cmnf 8364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-mnf 8369

This theorem is used by:  renemnfd  8383  renfdisj  8391  ltxrlt  8397  xrnemnf  10196  xrlttri3  10216  ngtmnft  10236  xrrebnd  10238  rexneg  10249  xrmnfdc  10262  rexadd  10271  xaddnemnf  10276  xaddcom  10280  xaddid1  10281  xnegdi  10287  xpncan  10290  xleadd1a  10292  xltadd1  10295  xposdif  10301  xrmaxrecl  12046  isxmet2d  15574