Theorem renemnf 8364

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8358	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ℝcr 8168  -∞cmnf 8348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-pnf 8352  df-mnf 8353

This theorem is referenced by:  renemnfd  8367  renfdisj  8375  ltxrlt  8381  xrnemnf  10158  xrlttri3  10178  ngtmnft  10198  xrrebnd  10200  rexneg  10211  xrmnfdc  10224  rexadd  10233  xaddnemnf  10238  xaddcom  10242  xaddid1  10243  xnegdi  10249  xpncan  10252  xleadd1a  10254  xltadd1  10257  xposdif  10263  xrmaxrecl  11999  isxmet2d  15372