Theorem renemnf 7947

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7941	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2433	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2229	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 665	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2390	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ℝcr 7752  -∞cmnf 7931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-pnf 7935  df-mnf 7936

This theorem is referenced by:  renemnfd  7950  renfdisj  7958  ltxrlt  7964  xrnemnf  9713  xrlttri3  9733  ngtmnft  9753  xrrebnd  9755  rexneg  9766  xrmnfdc  9779  rexadd  9788  xaddnemnf  9793  xaddcom  9797  xaddid1  9798  xnegdi  9804  xpncan  9807  xleadd1a  9809  xltadd1  9812  xposdif  9818  xrmaxrecl  11196  isxmet2d  12998