Theorem renemnf 8158

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8152	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2475	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2270	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ℝcr 7961  -∞cmnf 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-v 2779  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-uni 3866  df-pnf 8146  df-mnf 8147

This theorem is referenced by:  renemnfd  8161  renfdisj  8169  ltxrlt  8175  xrnemnf  9936  xrlttri3  9956  ngtmnft  9976  xrrebnd  9978  rexneg  9989  xrmnfdc  10002  rexadd  10011  xaddnemnf  10016  xaddcom  10020  xaddid1  10021  xnegdi  10027  xpncan  10030  xleadd1a  10032  xltadd1  10035  xposdif  10041  xrmaxrecl  11727  isxmet2d  14981