Theorem nltmnf 9863

Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nltmnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8069	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2464	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3	2	intnan 930	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
4	3	intnanr 931	. . . 4 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞)
5		pnfnemnf 8081	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	nesymi 2413	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ = +∞
7	6	intnan 930	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
9	6	intnan 930	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
10	2	intnan 930	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 814	. 2 ⊢ ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13		mnfxr 8083	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 9850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 676	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878   <_ℝ cltrr 7883  +∞cpnf 8058  -∞cmnf 8059  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  mnfle  9867  xrltnsym  9868  xrlttr  9870  xrltso  9871  xltnegi  9910  xposdif  9957  qbtwnxr  10347  xrmaxiflemab  11412  xrmaxltsup  11423  xrbdtri  11441  blssioo  14789