ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nltmnf GIF version

Theorem nltmnf 9600
Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
nltmnf (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 7828 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
21neli 2406 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
32intnan 915 . . . . 5 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
43intnanr 916 . . . 4 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞)
5 pnfnemnf 7840 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65nesymi 2355 . . . . 5 ¬ -∞ = +∞
76intnan 915 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
84, 7pm3.2ni 803 . . 3 ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
96intnan 915 . . . 4 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
102intnan 915 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 803 . . 3 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 803 . 2 ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13 mnfxr 7842 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 9588 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan2 422 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 665 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  cr 7639   < cltrr 7644  +∞cpnf 7817  -∞cmnf 7818  *cxr 7819   < clt 7820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825
This theorem is referenced by:  mnfle  9604  xrltnsym  9605  xrlttr  9607  xrltso  9608  xltnegi  9644  xposdif  9691  qbtwnxr  10062  xrmaxiflemab  11044  xrmaxltsup  11055  xrbdtri  11073  blssioo  12744
  Copyright terms: Public domain W3C validator