Theorem nltmnf 10067

Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nltmnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8264	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2500	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3	2	intnan 937	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
4	3	intnanr 938	. . . 4 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞)
5		pnfnemnf 8276	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	nesymi 2449	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ = +∞
7	6	intnan 937	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 821	. . 3 ⊢ ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
9	6	intnan 937	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
10	2	intnan 937	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 821	. . 3 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 821	. 2 ⊢ ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13		mnfxr 8278	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 10054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 682	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   <_ℝ cltrr 8079  +∞cpnf 8253  -∞cmnf 8254  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261

This theorem is referenced by:  mnfle  10071  xrltnsym  10072  xrlttr  10074  xrltso  10075  xltnegi  10114  xposdif  10161  qbtwnxr  10563  xrmaxiflemab  11870  xrmaxltsup  11881  xrbdtri  11899  blssioo  15347