Theorem nltmnf 9673

Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nltmnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7899	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2421	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3	2	intnan 915	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
4	3	intnanr 916	. . . 4 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞)
5		pnfnemnf 7911	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	nesymi 2370	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ = +∞
7	6	intnan 915	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 803	. . 3 ⊢ ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
9	6	intnan 915	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
10	2	intnan 915	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 803	. . 3 ⊢ ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 803	. 2 ⊢ ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13		mnfxr 7913	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 9660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan2 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 665	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  ℝcr 7710   <_ℝ cltrr 7715  +∞cpnf 7888  -∞cmnf 7889  ℝ^*cxr 7890   < clt 7891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896

This theorem is referenced by:  mnfle  9677  xrltnsym  9678  xrlttr  9680  xrltso  9681  xltnegi  9717  xposdif  9764  qbtwnxr  10135  xrmaxiflemab  11121  xrmaxltsup  11132  xrbdtri  11150  blssioo  12884