ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nltmnf GIF version

Theorem nltmnf 9227
Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
nltmnf (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 7509 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
21neli 2352 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
32intnan 876 . . . . 5 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
43intnanr 877 . . . 4 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞)
5 pnfnemnf 7521 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65nesymi 2301 . . . . 5 ¬ -∞ = +∞
76intnan 876 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
84, 7pm3.2ni 762 . . 3 ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
96intnan 876 . . . 4 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
102intnan 876 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 762 . . 3 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 762 . 2 ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13 mnfxr 7523 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 9215 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 635 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cr 7328   < cltrr 7333  +∞cpnf 7498  -∞cmnf 7499  *cxr 7500   < clt 7501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506
This theorem is referenced by:  mnfle  9231  xrltnsym  9232  xrlttr  9234  xrltso  9235  xltnegi  9266  qbtwnxr  9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator