Theorem ringn0 14193

Description: The class of rings is not empty (it is also inhabited, as shown at ring1 14192). (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ringn0	⊢ Ring ≠ ∅

Proof of Theorem ringn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2815	. 2 ⊢ 𝑧 ∈ V
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}
3	2	ring1 14192	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ V → {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} ∈ Ring)
4		ne0i 3514	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} ∈ Ring → Ring ≠ ∅)
5	1, 3, 4	mp2b 8	1 ⊢ Ring ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2812  ∅c0 3507  {csn 3688  {ctp 3690  ⟨cop 3691  ‘cfv 5351  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  ._rcmulr 13280  Ringcrg 14129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-mgp 14054  df-ring 14131

This theorem is referenced by: (None)