Theorem elex2 2790

Description: If a class contains another class, then it contains some set. (Contributed by Alan Sare, 25-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elex2	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1a 2278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	alrimiv 1898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∀𝑥(𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3		elisset 2788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
4		exim 1623	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
5	2, 3, 4	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1371   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-v 2775

This theorem is referenced by:  snmg  3756  oprcl  3849  brm  4102  ss1o0el1  4249  exss  4279  onintrab2im  4574  regexmidlemm  4588  dmxpid  4908  acexmidlem2  5954  frecabcl  6498  ixpm  6830  en1m  6910  enm  6930  ssfilem  6987  fin0  6997  fin0or  6998  diffitest  6999  diffisn  7005  infm  7016  inffiexmid  7018  ctssdc  7230  omct  7234  ctssexmid  7267  exmidfodomrlemr  7326  exmidfodomrlemrALT  7327  acnrcl  7329  exmidaclem  7336  iftrueb01  7354  pw1if  7356  caucvgsrlemasr  7923  suplocsrlempr  7940  gtso  8171  sup3exmid  9050  indstr  9734  negm  9756  fzm  10180  fzom  10307  rexfiuz  11375  r19.2uz  11379  resqrexlemgt0  11406  climuni  11679  bezoutlembi  12401  nninfct  12437  lcmgcdlem  12474  pcprecl  12687  pc2dvds  12728  4sqlem13m  12801  nninfdclemcl  12894  dfgrp3m  13506  issubg2m  13600  issubgrpd2  13601  issubg3  13603  issubg4m  13604  grpissubg  13605  subgintm  13609  nmzsubg  13621  ghmrn  13668  ghmpreima  13677  dvdsr02  13942  01eq0ring  14026  subrgugrp  14077  lmodfopnelem1  14161  rmodislmodlem  14187  rmodislmod  14188  lss1  14199  lsssubg  14214  islss3  14216  islss4  14219  lss1d  14220  lssintclm  14221  dflidl2rng  14318  lidlsubg  14323  cnsubglem  14416  tgioo  15101  elply2  15282  dom1o  16067  pw1nct  16081  nninfall  16087  nnnninfen  16099