ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzn0 GIF version

Theorem uzn0 9360
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 9348 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5275 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
3 fvelrnb 5472 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 8 . 2 (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀)
5 uzid 9359 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ𝑘))
6 ne0i 3369 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑘) → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
8 neeq1 2321 . . . 4 ((ℤ𝑘) = 𝑀 → ((ℤ𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 154 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅))
109rexlimiv 2543 . 2 (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅)
114, 10sylbi 120 1 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  wrex 2417  c0 3363  𝒫 cpw 3510  ran crn 4543   Fn wfn 5121  wf 5122  cfv 5126  cz 9073  cuz 9345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-pre-ltirr 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-ov 5780  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-neg 7955  df-z 9074  df-uz 9346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator