ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzn0 GIF version

Theorem uzn0 9519
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 9507 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5360 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
3 fvelrnb 5558 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 8 . 2 (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀)
5 uzid 9518 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ𝑘))
6 ne0i 3429 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑘) → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
8 neeq1 2360 . . . 4 ((ℤ𝑘) = 𝑀 → ((ℤ𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 155 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅))
109rexlimiv 2588 . 2 (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅)
114, 10sylbi 121 1 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  c0 3422  𝒫 cpw 3574  ran crn 4623   Fn wfn 5206  wf 5207  cfv 5211  cz 9229  cuz 9504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-neg 8108  df-z 9230  df-uz 9505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator