Theorem uzn0 9917

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0	⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9903	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		ffn 5528	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
3		fvelrnb 5744	. . 3 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀)
5		uzid 9915	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		ne0i 3528	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
8		neeq1 2433	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → ((ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 2662	. 2 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
11	4, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3685  ran crn 4770   Fn wfn 5367  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by: (None)