Theorem uzn0 9133

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0	⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9121	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		ffn 5195	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
3		fvelrnb 5387	. . 3 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀)
5		uzid 9132	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		ne0i 3308	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
8		neeq1 2275	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → ((ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 154	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 2496	. 2 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
11	4, 10	sylbi 120	1 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262  ∃wrex 2371  ∅c0 3302  𝒫 cpw 3449  ran crn 4468   Fn wfn 5044  ⟶wf 5045  ‘cfv 5049  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltirr 7554

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-neg 7753  df-z 8849  df-uz 9119

This theorem is referenced by: (None)