Theorem sstri 3234

Description: Subclass transitivity inference. (Contributed by NM, 5-May-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstri.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
sstri.2	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sstri	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶

Proof of Theorem sstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstri.1	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		sstri.2	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶
3		sstr2 3232	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	mp2 16	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶

Syntax hints:   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  difdif2ss  3462  difdifdirss  3577  snsstp1  3821  snsstp2  3822  elopabran  4376  nnregexmid  4717  dmexg  4994  rnexg  4995  ssrnres  5177  cossxp  5257  cocnvss  5260  funinsn  5376  fabexg  5521  foimacnv  5598  ssimaex  5703  oprabss  6102  tposssxp  6410  mapsspw  6848  sbthlemi5  7151  sbthlem7  7153  caserel  7277  dmaddpi  7535  dmmulpi  7536  ltrelxr  8230  nnsscn  9138  nn0sscn  9397  nn0ssq  9852  nnssq  9853  qsscn  9855  fzval2  10236  fzossnn  10419  fzo0ssnn0  10450  infssuzcldc  10485  expcl2lemap  10803  rpexpcl  10810  expge0  10827  expge1  10828  seq3coll  11096  summodclem2a  11932  fsum3cvg3  11947  fsumrpcl  11955  fsumge0  12010  prodmodclem2a  12127  fprodrpcl  12162  fprodge0  12188  fprodge1  12190  nninfctlemfo  12601  isprm3  12680  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  eulerthlemh  12793  eulerthlemth  12794  pcprecl  12852  pcprendvds  12853  pcpremul  12856  4sqlem11  12964  structfn  13091  strleun  13177  prdsvallem  13345  prdsval  13346  prdssca  13348  prdsbas  13349  prdsplusg  13350  prdsmulr  13351  cnfldbas  14564  mpocnfldadd  14565  mpocnfldmul  14567  cnfldcj  14569  cnfldtset  14570  cnfldle  14571  cnfldds  14572  psrplusgg  14682  toponsspwpwg  14736  dmtopon  14737  lmbrf  14929  lmres  14962  txcnmpt  14987  qtopbas  15236  tgqioo  15269  dvrecap  15427  cosz12  15494  ioocosf1o  15568  mpodvdsmulf1o  15704  fsumdvdsmul  15705  lgsfcl2  15725  2sqlem6  15839  2sqlem8  15842  2sqlem9  15843  trlsex  16182  eupthsg  16240