Theorem inss2 3428

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss2	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem inss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3399	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss1 3427	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐵
3	1, 2	eqsstrri 3260	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  difin0  3568  bnd2  4263  ordin  4482  relin2  4846  relres  5041  ssrnres  5179  cnvcnv  5189  funinsn  5379  funimaexg  5414  fnresin2  5448  ssimaex  5707  ffvresb  5810  fnfvimad  5889  ofrfval  6243  ofvalg  6244  ofrval  6245  off  6247  ofres  6249  ofco  6253  offres  6296  tpostpos  6429  smores3  6458  tfrlem5  6479  tfrexlem  6499  erinxp  6777  pmresg  6844  unfiin  7117  ltrelpi  7543  peano5nnnn  8111  peano5nni  9145  rexanuz  11548  bitsinv1  12522  structcnvcnv  13097  ressbasssd  13151  restsspw  13331  eltg4i  14778  ntrss2  14844  ntrin  14847  isopn3  14848  resttopon  14894  restuni2  14900  cnrest2r  14960  cnptopresti  14961  cnptoprest  14962  lmss  14969  metrest  15229  tgioo  15277  2sqlem8  15851  2sqlem9  15852  peano5set  16535