Theorem inss2 3425

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss2	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem inss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3396	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss1 3424	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐵
3	1, 2	eqsstrri 3257	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  difin0  3565  bnd2  4257  ordin  4476  relin2  4838  relres  5033  ssrnres  5171  cnvcnv  5181  funinsn  5370  funimaexg  5405  fnresin2  5439  ssimaex  5697  ffvresb  5800  fnfvimad  5879  ofrfval  6233  ofvalg  6234  ofrval  6235  off  6237  ofres  6239  ofco  6243  offres  6286  tpostpos  6416  smores3  6445  tfrlem5  6466  tfrexlem  6486  erinxp  6764  pmresg  6831  unfiin  7099  ltrelpi  7522  peano5nnnn  8090  peano5nni  9124  rexanuz  11514  bitsinv1  12488  structcnvcnv  13063  ressbasssd  13117  restsspw  13297  eltg4i  14744  ntrss2  14810  ntrin  14813  isopn3  14814  resttopon  14860  restuni2  14866  cnrest2r  14926  cnptopresti  14927  cnptoprest  14928  lmss  14935  metrest  15195  tgioo  15243  2sqlem8  15817  2sqlem9  15818  peano5set  16358