Theorem inss2 3452

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss2	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem inss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3421	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss1 3451	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐵
3	1, 2	eqsstrri 3281	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  vvin  3569  difin0  3601  bnd2  4310  ordin  4530  relin2  4896  relres  5091  ssrnres  5230  cnvcnv  5240  funinsn  5430  funimaexg  5465  fnresin2  5499  ssimaex  5764  ffvresb  5871  fnfvimad  5954  ofrfval  6311  ofvalg  6312  ofrval  6313  off  6315  ofres  6317  ofco  6321  offres  6368  tpostpos  6535  smores3  6564  tfrlem5  6585  tfrexlem  6605  erinxp  6883  pmresg  6957  unfiin  7233  ltrelpi  7691  peano5nnnn  8259  peano5nni  9309  rexanuz  11768  bitsinv1  12745  structcnvcnv  13417  ressbasssd  13472  restsspw  13652  asplss  15065  eltg4i  15205  ntrss2  15271  ntrin  15274  isopn3  15275  resttopon  15321  restuni2  15327  cnrest2r  15387  cnptopresti  15388  cnptoprest  15389  lmss  15396  metrest  15656  tgioo  15704  2sqlem8  16340  2sqlem9  16341  peano5set  17064