Theorem inss2 3452

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss2	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem inss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3421	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss1 3451	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐵
3	1, 2	eqsstrri 3281	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  vvin  3569  difin0  3601  bnd2  4312  ordin  4532  relin2  4898  relres  5093  ssrnres  5233  cnvcnv  5243  funinsn  5433  funimaexg  5468  fnresin2  5502  ssimaex  5767  ffvresb  5874  fnfvimad  5957  ofrfval  6315  ofvalg  6316  ofrval  6317  off  6319  ofres  6321  ofco  6325  offres  6372  tpostpos  6540  smores3  6569  tfrlem5  6590  tfrexlem  6610  erinxp  6888  pmresg  6962  unfiin  7239  ltrelpi  7697  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  rexanuz  11775  bitsinv1  12753  structcnvcnv  13425  ressbasssd  13481  restsspw  13661  gsummptfidmsplit  14253  gsumresfi  14262  asplss  15124  eltg4i  15298  ntrss2  15364  ntrin  15367  isopn3  15368  resttopon  15414  restuni2  15420  cnrest2r  15480  cnptopresti  15481  cnptoprest  15482  lmss  15489  metrest  15749  tgioo  15797  2sqlem8  16464  2sqlem9  16465  peano5set  17188