Theorem inftonninf 10551

Description: The mapping of +∞ into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5562	. 2 ⊢ (𝐼‘+∞) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞)
3		pnf0xnn0 9336	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
4		omex 4630	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
5		1oex 6491	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
6	5	snex 4219	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
7	4, 6	xpex 4779	. . 3 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
8		pnfnre 8085	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
9	8	neli 2464	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10		nn0re 9275	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	mto 663	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
14	12, 13	fnn0nninf 10547	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
15	14	fdmi 5418	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ℕ0
16	15	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
17	11, 16	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)
18		fsnunfv 5766	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1o}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o}))
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1348	. 2 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o})
20		fconstmpt 4711	. 2 ⊢ (ω × {1o}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
21	2, 19, 20	3eqtri 2221	1 ⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  ∅c0 3451  ifcif 3562  {csn 3623  ⟨cop 3626   ↦ cmpt 4095  ωcom 4627   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663  dom cdm 4664   ∘ ccom 4668  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  freccfrec 6457  1_oc1o 6476  ℕ_∞xnninf 7194  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899  +∞cpnf 8075  ℕ₀cn0 9266  ℕ₀^*cxnn0 9329  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-xnn0 9330  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12232