Theorem inftonninf 10672

Description: The mapping of +∞ into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5630	. 2 ⊢ (𝐼‘+∞) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞)
3		pnf0xnn0 9447	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
4		omex 4685	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
5		1oex 6576	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
6	5	snex 4269	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
7	4, 6	xpex 4834	. . 3 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
8		pnfnre 8196	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
9	8	neli 2497	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10		nn0re 9386	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	mto 666	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
14	12, 13	fnn0nninf 10668	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
15	14	fdmi 5481	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ℕ0
16	15	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
17	11, 16	mtbir 675	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)
18		fsnunfv 5844	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1o}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o}))
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1371	. 2 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o})
20		fconstmpt 4766	. 2 ⊢ (ω × {1o}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
21	2, 19, 20	3eqtri 2254	1 ⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666  ⟨cop 3669   ↦ cmpt 4145  ωcom 4682   × cxp 4717  ^◡ccnv 4718  dom cdm 4719   ∘ ccom 4723  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542  1_oc1o 6561  ℕ_∞xnninf 7294  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010  +∞cpnf 8186  ℕ₀cn0 9377  ℕ₀^*cxnn0 9440  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-map 6805  df-nninf 7295  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-xnn0 9441  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12569