ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inftonninf GIF version

Theorem inftonninf 9812
Description: The mapping of +∞ into is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
Assertion
Ref Expression
inftonninf (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1𝑜)
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . 3 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
21fveq1i 5290 . 2 (𝐼‘+∞) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘+∞)
3 pnf0xnn0 8713 . . 3 +∞ ∈ ℕ0*
4 omex 4398 . . . 4 ω ∈ V
5 1oex 6171 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
65snex 4011 . . . 4 {1𝑜} ∈ V
74, 6xpex 4541 . . 3 (ω × {1𝑜}) ∈ V
8 pnfnre 7508 . . . . . 6 +∞ ∉ ℝ
98neli 2352 . . . . 5 ¬ +∞ ∈ ℝ
10 nn0re 8652 . . . . 5 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
119, 10mto 623 . . . 4 ¬ +∞ ∈ ℕ0
12 fxnn0nninf.g . . . . . . 7 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13 fxnn0nninf.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
1412, 13fnn0nninf 9808 . . . . . 6 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
1514fdmi 5154 . . . . 5 dom (𝐹𝐺) = ℕ0
1615eleq2i 2154 . . . 4 (+∞ ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
1711, 16mtbir 631 . . 3 ¬ +∞ ∈ dom (𝐹𝐺)
18 fsnunfv 5481 . . 3 ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1𝑜}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹𝐺)) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘+∞) = (ω × {1𝑜}))
193, 7, 17, 18mp3an 1273 . 2 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘+∞) = (ω × {1𝑜})
20 fconstmpt 4473 . 2 (ω × {1𝑜}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1𝑜)
212, 19, 203eqtri 2112 1 (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  c0 3284  ifcif 3389  {csn 3441  cop 3444  cmpt 3891  ωcom 4395   × cxp 4426  ccnv 4427  dom cdm 4428  ccom 4432  cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137  1𝑜c1o 6156  xnninf 6768  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332  +∞cpnf 7498  0cn0 8643  0*cxnn0 8706  cz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-xnn0 8707  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator