Theorem inftonninf 10705

Description: The mapping of +∞ into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5640	. 2 ⊢ (𝐼‘+∞) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞)
3		pnf0xnn0 9472	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
4		omex 4691	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
5		1oex 6590	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
6	5	snex 4275	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
7	4, 6	xpex 4842	. . 3 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
8		pnfnre 8221	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
9	8	neli 2499	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10		nn0re 9411	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	mto 668	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
14	12, 13	fnn0nninf 10701	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
15	14	fdmi 5490	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ℕ0
16	15	eleq2i 2298	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
17	11, 16	mtbir 677	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)
18		fsnunfv 5855	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1o}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o}))
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1373	. 2 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o})
20		fconstmpt 4773	. 2 ⊢ (ω × {1o}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
21	2, 19, 20	3eqtri 2256	1 ⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  ∅c0 3494  ifcif 3605  {csn 3669  ⟨cop 3672   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688   × cxp 4723  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725   ∘ ccom 4729  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  freccfrec 6556  1_oc1o 6575  ℕ_∞xnninf 7318  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035  +∞cpnf 8211  ℕ₀cn0 9402  ℕ₀^*cxnn0 9465  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-map 6819  df-nninf 7319  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12613