Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inftonninf GIF version

Theorem inftonninf 10165
 Description: The mapping of +∞ into ℕ∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
inftonninf (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . 3 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
21fveq1i 5388 . 2 (𝐼‘+∞) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞)
3 pnf0xnn0 9001 . . 3 +∞ ∈ ℕ0*
4 omex 4475 . . . 4 ω ∈ V
5 1oex 6287 . . . . 5 1o ∈ V
65snex 4077 . . . 4 {1o} ∈ V
74, 6xpex 4622 . . 3 (ω × {1o}) ∈ V
8 pnfnre 7771 . . . . . 6 +∞ ∉ ℝ
98neli 2380 . . . . 5 ¬ +∞ ∈ ℝ
10 nn0re 8940 . . . . 5 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
119, 10mto 634 . . . 4 ¬ +∞ ∈ ℕ0
12 fxnn0nninf.g . . . . . . 7 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13 fxnn0nninf.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
1412, 13fnn0nninf 10161 . . . . . 6 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
1514fdmi 5248 . . . . 5 dom (𝐹𝐺) = ℕ0
1615eleq2i 2182 . . . 4 (+∞ ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
1711, 16mtbir 643 . . 3 ¬ +∞ ∈ dom (𝐹𝐺)
18 fsnunfv 5587 . . 3 ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1o}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹𝐺)) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o}))
193, 7, 17, 18mp3an 1298 . 2 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o})
20 fconstmpt 4554 . 2 (ω × {1o}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
212, 19, 203eqtri 2140 1 (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  Vcvv 2658   ∪ cun 3037  ∅c0 3331  ifcif 3442  {csn 3495  ⟨cop 3498   ↦ cmpt 3957  ωcom 4472   × cxp 4505  ◡ccnv 4506  dom cdm 4507   ∘ ccom 4511  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  freccfrec 6253  1oc1o 6272  ℕ∞xnninf 6971  ℝcr 7583  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587  +∞cpnf 7761  ℕ0cn0 8931  ℕ0*cxnn0 8994  ℤcz 9008 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-xnn0 8995  df-z 9009  df-uz 9279 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator