Theorem inftonninf 10516

Description: The mapping of +∞ into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5556	. 2 ⊢ (𝐼‘+∞) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞)
3		pnf0xnn0 9313	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
4		omex 4626	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
5		1oex 6479	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
6	5	snex 4215	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
7	4, 6	xpex 4775	. . 3 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
8		pnfnre 8063	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∉ ℝ
9	8	neli 2461	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10		nn0re 9252	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
11	9, 10	mto 663	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
14	12, 13	fnn0nninf 10512	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞
15	14	fdmi 5412	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ℕ0
16	15	eleq2i 2260	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺) ↔ +∞ ∈ ℕ0)
17	11, 16	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)
18		fsnunfv 5760	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℕ0* ∧ (ω × {1o}) ∈ V ∧ ¬ +∞ ∈ dom (𝐹 ∘ ◡𝐺)) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o}))
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1348	. 2 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘+∞) = (ω × {1o})
20		fconstmpt 4707	. 2 ⊢ (ω × {1o}) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)
21	2, 19, 20	3eqtri 2218	1 ⊢ (𝐼‘+∞) = (𝑥 ∈ ω ↦ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3152  ∅c0 3447  ifcif 3558  {csn 3619  ⟨cop 3622   ↦ cmpt 4091  ωcom 4623   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660   ∘ ccom 4664  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  freccfrec 6445  1_oc1o 6464  ℕ_∞xnninf 7180  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877  +∞cpnf 8053  ℕ₀cn0 9243  ℕ₀^*cxnn0 9306  ℤcz 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-nninf 7181  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-xnn0 9307  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12180