Theorem renepnf 8205

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8199	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2497	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ℝcr 8009  +∞cpnf 8189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-uni 3889  df-pnf 8194

This theorem is referenced by:  renepnfd  8208  renfdisj  8217  ltxrlt  8223  xrnepnf  9986  xrlttri3  10005  nltpnft  10022  xrrebnd  10027  rexneg  10038  xrpnfdc  10050  rexadd  10060  xaddnepnf  10066  xaddcom  10069  xaddid1  10070  xnn0xadd0  10075  xnegdi  10076  xpncan  10079  xleadd1a  10081  xltadd1  10084  xsubge0  10089  xposdif  10090  xleaddadd  10095  xrmaxrecl  11782