Theorem renepnf 7946

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7940	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2433	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2229	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 665	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2390	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-uni 3790  df-pnf 7935

This theorem is referenced by:  renepnfd  7949  renfdisj  7958  ltxrlt  7964  xrnepnf  9714  xrlttri3  9733  nltpnft  9750  xrrebnd  9755  rexneg  9766  xrpnfdc  9778  rexadd  9788  xaddnepnf  9794  xaddcom  9797  xaddid1  9798  xnn0xadd0  9803  xnegdi  9804  xpncan  9807  xleadd1a  9809  xltadd1  9812  xsubge0  9817  xposdif  9818  xleaddadd  9823  xrmaxrecl  11196