Theorem renepnf 8067

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8061	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2461	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2418	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ℝcr 7871  +∞cpnf 8051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-uni 3836  df-pnf 8056

This theorem is referenced by:  renepnfd  8070  renfdisj  8079  ltxrlt  8085  xrnepnf  9844  xrlttri3  9863  nltpnft  9880  xrrebnd  9885  rexneg  9896  xrpnfdc  9908  rexadd  9918  xaddnepnf  9924  xaddcom  9927  xaddid1  9928  xnn0xadd0  9933  xnegdi  9934  xpncan  9937  xleadd1a  9939  xltadd1  9942  xsubge0  9947  xposdif  9948  xleaddadd  9953  xrmaxrecl  11398