Theorem renepnf 8155

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8149	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2475	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2270	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2432	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ℝcr 7959  +∞cpnf 8139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-uni 3865  df-pnf 8144

This theorem is referenced by:  renepnfd  8158  renfdisj  8167  ltxrlt  8173  xrnepnf  9935  xrlttri3  9954  nltpnft  9971  xrrebnd  9976  rexneg  9987  xrpnfdc  9999  rexadd  10009  xaddnepnf  10015  xaddcom  10018  xaddid1  10019  xnn0xadd0  10024  xnegdi  10025  xpncan  10028  xleadd1a  10030  xltadd1  10033  xsubge0  10038  xposdif  10039  xleaddadd  10044  xrmaxrecl  11681