Theorem renepnf 8140

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8134	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2474	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2269	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2431	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ℝcr 7944  +∞cpnf 8124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-uni 3857  df-pnf 8129

This theorem is referenced by:  renepnfd  8143  renfdisj  8152  ltxrlt  8158  xrnepnf  9920  xrlttri3  9939  nltpnft  9956  xrrebnd  9961  rexneg  9972  xrpnfdc  9984  rexadd  9994  xaddnepnf  10000  xaddcom  10003  xaddid1  10004  xnn0xadd0  10009  xnegdi  10010  xpncan  10013  xleadd1a  10015  xltadd1  10018  xsubge0  10023  xposdif  10024  xleaddadd  10029  xrmaxrecl  11641