Theorem renepnf 7533

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7527	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2352	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2150	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 635	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2309	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   ≠ wne 2255  ℝcr 7347  +∞cpnf 7517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-un 4260  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-uni 3654  df-pnf 7522

This theorem is referenced by:  renepnfd  7536  renfdisj  7544  ltxrlt  7550  xrnepnf  9247  xrlttri3  9265  nltpnft  9277  xrrebnd  9279  rexneg  9290