Theorem renepnf 8120

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8114	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2473	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2268	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2430	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ℝcr 7924  +∞cpnf 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-uni 3851  df-pnf 8109

This theorem is referenced by:  renepnfd  8123  renfdisj  8132  ltxrlt  8138  xrnepnf  9900  xrlttri3  9919  nltpnft  9936  xrrebnd  9941  rexneg  9952  xrpnfdc  9964  rexadd  9974  xaddnepnf  9980  xaddcom  9983  xaddid1  9984  xnn0xadd0  9989  xnegdi  9990  xpncan  9993  xleadd1a  9995  xltadd1  9998  xsubge0  10003  xposdif  10004  xleaddadd  10009  xrmaxrecl  11566