Theorem renepnf 8363

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8357	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ℝcr 8168  +∞cpnf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-uni 3931  df-pnf 8352

This theorem is referenced by:  renepnfd  8366  renfdisj  8375  ltxrlt  8381  xrnepnf  10159  xrlttri3  10178  nltpnft  10195  xrrebnd  10200  rexneg  10211  xrpnfdc  10223  rexadd  10233  xaddnepnf  10239  xaddcom  10242  xaddid1  10243  xnn0xadd0  10248  xnegdi  10249  xpncan  10252  xleadd1a  10254  xltadd1  10257  xsubge0  10262  xposdif  10263  xleaddadd  10268  xrmaxrecl  11999