Theorem renepnf 8286

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8280	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2500	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2457	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ℝcr 8091  +∞cpnf 8270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-uni 3899  df-pnf 8275

This theorem is referenced by:  renepnfd  8289  renfdisj  8298  ltxrlt  8304  xrnepnf  10074  xrlttri3  10093  nltpnft  10110  xrrebnd  10115  rexneg  10126  xrpnfdc  10138  rexadd  10148  xaddnepnf  10154  xaddcom  10157  xaddid1  10158  xnn0xadd0  10163  xnegdi  10164  xpncan  10167  xleadd1a  10169  xltadd1  10172  xsubge0  10177  xposdif  10178  xleaddadd  10183  xrmaxrecl  11895