Theorem renepnf 8217

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8211	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2497	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ℝcr 8021  +∞cpnf 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-uni 3892  df-pnf 8206

This theorem is referenced by:  renepnfd  8220  renfdisj  8229  ltxrlt  8235  xrnepnf  10003  xrlttri3  10022  nltpnft  10039  xrrebnd  10044  rexneg  10055  xrpnfdc  10067  rexadd  10077  xaddnepnf  10083  xaddcom  10086  xaddid1  10087  xnn0xadd0  10092  xnegdi  10093  xpncan  10096  xleadd1a  10098  xltadd1  10101  xsubge0  10106  xposdif  10107  xleaddadd  10112  xrmaxrecl  11806