Theorem renepnf 8321

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8315	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2509	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2295	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2466	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ℝcr 8126  +∞cpnf 8305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-uni 3915  df-pnf 8310

This theorem is referenced by:  renepnfd  8324  renfdisj  8333  ltxrlt  8339  xrnepnf  10111  xrlttri3  10130  nltpnft  10147  xrrebnd  10152  rexneg  10163  xrpnfdc  10175  rexadd  10185  xaddnepnf  10191  xaddcom  10194  xaddid1  10195  xnn0xadd0  10200  xnegdi  10201  xpncan  10204  xleadd1a  10206  xltadd1  10209  xsubge0  10214  xposdif  10215  xleaddadd  10220  xrmaxrecl  11940