Theorem renepnf 7806

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7800	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2403	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2200	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 664	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2360	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ℝcr 7612  +∞cpnf 7790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-uni 3732  df-pnf 7795

This theorem is referenced by:  renepnfd  7809  renfdisj  7817  ltxrlt  7823  xrnepnf  9558  xrlttri3  9576  nltpnft  9590  xrrebnd  9595  rexneg  9606  xrpnfdc  9618  rexadd  9628  xaddnepnf  9634  xaddcom  9637  xaddid1  9638  xnn0xadd0  9643  xnegdi  9644  xpncan  9647  xleadd1a  9649  xltadd1  9652  xsubge0  9657  xposdif  9658  xleaddadd  9663  xrmaxrecl  11017