Theorem renepnf 8091

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8085	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2464	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-uni 3841  df-pnf 8080

This theorem is referenced by:  renepnfd  8094  renfdisj  8103  ltxrlt  8109  xrnepnf  9870  xrlttri3  9889  nltpnft  9906  xrrebnd  9911  rexneg  9922  xrpnfdc  9934  rexadd  9944  xaddnepnf  9950  xaddcom  9953  xaddid1  9954  xnn0xadd0  9959  xnegdi  9960  xpncan  9963  xleadd1a  9965  xltadd1  9968  xsubge0  9973  xposdif  9974  xleaddadd  9979  xrmaxrecl  11437