Theorem renepnf 8373

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8367	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ℝcr 8178  +∞cpnf 8357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-uni 3936  df-pnf 8362

This theorem is used by:  renepnfd  8376  renfdisj  8385  ltxrlt  8391  xrnepnf  10180  xrlttri3  10199  nltpnft  10216  xrrebnd  10221  rexneg  10232  xrpnfdc  10244  rexadd  10254  xaddnepnf  10260  xaddcom  10263  xaddid1  10264  xnn0xadd0  10269  xnegdi  10270  xpncan  10273  xleadd1a  10275  xltadd1  10278  xsubge0  10283  xposdif  10284  xleaddadd  10289  xrmaxrecl  12021