Theorem renepnf 8093

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8087	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2464	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ℝcr 7897  +∞cpnf 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-uni 3841  df-pnf 8082

This theorem is referenced by:  renepnfd  8096  renfdisj  8105  ltxrlt  8111  xrnepnf  9872  xrlttri3  9891  nltpnft  9908  xrrebnd  9913  rexneg  9924  xrpnfdc  9936  rexadd  9946  xaddnepnf  9952  xaddcom  9955  xaddid1  9956  xnn0xadd0  9961  xnegdi  9962  xpncan  9965  xleadd1a  9967  xltadd1  9970  xsubge0  9975  xposdif  9976  xleaddadd  9981  xrmaxrecl  11439