Theorem renepnf 8122

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8116	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2473	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2268	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2430	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ℝcr 7926  +∞cpnf 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-uni 3851  df-pnf 8111

This theorem is referenced by:  renepnfd  8125  renfdisj  8134  ltxrlt  8140  xrnepnf  9902  xrlttri3  9921  nltpnft  9938  xrrebnd  9943  rexneg  9954  xrpnfdc  9966  rexadd  9976  xaddnepnf  9982  xaddcom  9985  xaddid1  9986  xnn0xadd0  9991  xnegdi  9992  xpncan  9995  xleadd1a  9997  xltadd1  10000  xsubge0  10005  xposdif  10006  xleaddadd  10011  xrmaxrecl  11599