Theorem renepnf 8194

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8188	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2497	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ℝcr 7998  +∞cpnf 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-uni 3889  df-pnf 8183

This theorem is referenced by:  renepnfd  8197  renfdisj  8206  ltxrlt  8212  xrnepnf  9974  xrlttri3  9993  nltpnft  10010  xrrebnd  10015  rexneg  10026  xrpnfdc  10038  rexadd  10048  xaddnepnf  10054  xaddcom  10057  xaddid1  10058  xnn0xadd0  10063  xnegdi  10064  xpncan  10067  xleadd1a  10069  xltadd1  10072  xsubge0  10077  xposdif  10078  xleaddadd  10083  xrmaxrecl  11766