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Theorem pcgcd1 12281
Description: The prime count of a GCD is the minimum of the prime counts of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcgcd1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcgcd1
StepHypRef Expression
1 oveq2 5861 . . . 4 (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
21oveq2d 5869 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 0)))
3 simp2 993 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 gcdid0 11935 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
53, 4syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
65oveq2d 5869 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 0)) = (𝑃 pCnt (abs‘𝐴)))
7 zq 9585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
8 pcabs 12279 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
97, 8sylan2 284 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1093adant3 1012 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
116, 10eqtrd 2203 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 0)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1211adantr 274 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 0)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
132, 12sylan9eqr 2225 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
14 simpl1 995 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
153adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 simpl3 997 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
17 simprr 527 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
18 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
1918necon3ai 2389 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2017, 19syl 14 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21 gcdn0cl 11917 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2215, 16, 20, 21syl21anc 1232 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2322nnzd 9333 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
24 gcddvds 11918 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2515, 16, 24syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2625simpld 111 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
27 pcdvdstr 12280 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
2814, 23, 15, 26, 27syl13anc 1235 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
2915, 7syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℚ)
30 pcxcl 12265 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
3114, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
32 pczcl 12252 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
3314, 16, 17, 32syl12anc 1231 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
3433nn0red 9189 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
35 pcge0 12266 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
3614, 15, 35syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
37 ge0gtmnf 9780 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)) → -∞ < (𝑃 pCnt 𝐴))
3831, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -∞ < (𝑃 pCnt 𝐴))
39 simprl 526 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
40 xrre 9777 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (𝑃 pCnt 𝐴) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
4131, 34, 38, 39, 40syl22anc 1234 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
42 pnfnre 7961 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∉ ℝ
4342neli 2437 . . . . . . . . . . 11 ¬ +∞ ∈ ℝ
44 pc0 12258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
4514, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
4645eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4743, 46mtbiri 670 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ)
48 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 0 → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 0))
4948eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ))
5049notbid 662 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ))
5147, 50syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 = 0 → ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ))
5251necon2ad 2397 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ → 𝐴 ≠ 0))
5341, 52mpd 13 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
54 pczdvds 12267 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5514, 15, 53, 54syl12anc 1231 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
56 pczcl 12252 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5714, 15, 53, 56syl12anc 1231 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
58 pcdvdsb 12273 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
5914, 16, 57, 58syl3anc 1233 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
6039, 59mpbid 146 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵)
61 prmnn 12064 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6214, 61syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6362, 57nnexpcld 10631 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
6463nnzd 9333 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
65 dvdsgcd 11967 . . . . . . 7 (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
6664, 15, 16, 65syl3anc 1233 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
6755, 60, 66mp2and 431 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
68 pcdvdsb 12273 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
6914, 23, 57, 68syl3anc 1233 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
7067, 69mpbird 166 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
7114, 22pccld 12254 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
7271nn0red 9189 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℝ)
7372, 41letri3d 8035 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))))
7428, 70, 73mpbir2and 939 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
7574anassrs 398 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
76 simpl3 997 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
77 0zd 9224 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → 0 ∈ ℤ)
78 zdceq 9287 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
7976, 77, 78syl2anc 409 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → DECID 𝐵 = 0)
80 dcne 2351 . . 3 (DECID 𝐵 = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8179, 80sylib 121 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8213, 75, 81mpjaodan 793 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  DECID wdc 829  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cr 7773  0cc0 7774  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  *cxr 7953   < clt 7954  cle 7955  cn 8878  0cn0 9135  cz 9212  cq 9578  cexp 10475  abscabs 10961  cdvds 11749   gcd cgcd 11897  cprime 12061   pCnt cpc 12238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-pc 12239
This theorem is referenced by:  pcgcd  12282
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