pc2dvds - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pc2dvds 12905

Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pc2dvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝

**Proof of Theorem pc2dvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcdvdstr 12902	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
2	1	ancoms 268	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
3	2	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
4	3	3expia 1231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
5		2prm 12701	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		elex2 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℙ → ∃𝑤 𝑤 ∈ ℙ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ ℙ
8		r19.2m 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
9	7, 8	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
10		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
11		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
13		pcxcl 12886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
14	10, 12, 13	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^*)
15		pnfge 10024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞)
17	16	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (+∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
18		pc0 12879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 0) = +∞)
20	19	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
21		pnfxr 8232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
22		xrletri3 10039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
23	14, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
24	17, 20, 23	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = +∞))
25		pnfnre 8221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∉ ℝ
26	25	neli 2499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
27		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
28	26, 27	mtbiri 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
29		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		0zd 9491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℤ)
31		zdceq 9555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝐵 = 0)
33		pczcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
34	33	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
36	35	an4s 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	expr 375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ))
38	37	a1d 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (DECID 𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)))
39	38	necon1bddc 2479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (DECID 𝐵 = 0 → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0)))
40	32, 39	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ → 𝐵 = 0))
41	28, 40	syl5 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) = +∞ → 𝐵 = 0))
42	24, 41	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
43	42	rexlimdva 2650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐵 = 0))
44		0dvds 12374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
45	44	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
46	43, 45	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
47	9, 46	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
48	47	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵))
49		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 0))
50	49	breq1d 4098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
51	50	ralbidv 2532	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
52		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
53	51, 52	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
54	53	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = 0) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 0) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 0 ∥ 𝐵)))
55	48, 54	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
56		zdvdsdc 12375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∥ 𝐵)
57	56	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → DECID 𝐴 ∥ 𝐵)
58		gcddvds 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
59	58	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
60		gcdcl 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
61	60	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
62		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		dvdsabsb 12373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴)))
65	59, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
66	65	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴))
67		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
68	67	necon3ai 2451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
69		gcdn0cl 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
70	68, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
71	70	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
72	70	nnne0d 9188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
73		nnabscl 11662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
74	73	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
75	74	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
76		dvdsval2 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
77	71, 72, 75, 76	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
78	66, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
79		nnre 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
80		nngt0 9168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (abs‘𝐴))
81	79, 80	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)))
82		nnre 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
83		nngt0 9168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
84	82, 83	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)))
85		divgt0 9052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵))) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
86	81, 84, 85	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
87	74, 70, 86	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
88		elnnz 9489	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
89	78, 87, 88	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
90		elnn1uz2 9841	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
91	89, 90	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)))
92	58	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
94		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
95	93, 94	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
96	74	nncnd 9157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
97	70	nncnd 9157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
98		1cnd 8195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
99	70	nnap0d 9189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) # 0)
100	96, 97, 98, 99	divmulapd 8992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴)))
101	97	mulridd 8196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (𝐴 gcd 𝐵))
102	101	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) · 1) = (abs‘𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
103	100, 102	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (abs‘𝐴)))
104		absdvdsb 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
105	104	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ 𝐵))
106	95, 103, 105	3imtr4d 203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 → 𝐴 ∥ 𝐵))
107		exprmfct 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
108		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
109	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
110	109	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
111	109	nnne0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
112	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
113		pcdiv 12877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
114	108, 110, 111, 112, 113	syl121anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
115		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
116		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
118		pcabs 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
119	108, 117, 118	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) = (𝑝 pCnt 𝐴))
120	119	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝐴)) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
121	114, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
122		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))
123	89	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
124		pcelnn 12896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
125	108, 123, 124	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))))
126	122, 125	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
127	121, 126	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ)
128	108, 112	pccld 12875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ₀)
129	128	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
130		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐴 ≠ 0)
131		pczcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
132	108, 115, 130, 131	syl12anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
133	132	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
134		znnsub 9531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
135	129, 133, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) − (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℕ))
136	127, 135	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴))
137		zltnle 9525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
138	129, 133, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
139	136, 138	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)))
140	132	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
141		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
142		nprmdvds1 12714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
143	142	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
144		gcdid0 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
145	115, 144	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
146	145	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
147	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
148	109	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (abs‘𝐴) # 0)
149	147, 148	dividapd 8966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
150	146, 149	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) = 1)
151	150	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) ↔ 𝑝 ∥ 1))
152	143, 151	mtbird 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
153		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
154	153	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = 0 → ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)))
155	154	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
156	122, 155	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝐵 = 0 → 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0))))
157	156	necon3bd 2445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (¬ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 0)) → 𝐵 ≠ 0))
158	152, 157	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → 𝐵 ≠ 0)
159	108, 141, 158, 33	syl12anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ₀)
160	159	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
161		lemininf 11796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
162	140, 140, 160, 161	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
163		pcgcd 12904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
164	108, 115, 141, 163	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
165	159	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℤ)
166		2zinfmin 11805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℤ) → inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < ) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
167	133, 165, 166	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < ) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
168	164, 167	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < ))
169	168	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ inf({(𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)}, ℝ, < )))
170	140	leidd 8694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
171	170	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
172	162, 169, 171	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵))))
173	139, 172	mtbird 679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)))) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
174	173	expr 375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
175	174	reximdva 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
176		rexnalim 2521	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))
177	107, 175, 176	syl56 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2) → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
178	106, 177	orim12d 793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1 ∨ ((abs‘𝐴) / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵))))
179	91, 178	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ∨ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
180	179	ord 731	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∥ 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
181		condc 860	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ∥ 𝐵 → ((¬ 𝐴 ∥ 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)))
182	57, 180, 181	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
183		0zd 9491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
184		zdceq 9555	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
185	62, 183, 184	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
186		dcne 2413	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
187	185, 186	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
188	55, 182, 187	mpjaodan 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
189	4, 188	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 715 DECID wdc 841 ∧ w3a 1004 = wceq 1397 ∃wex 1540 ∈ wcel 2202 ≠ wne 2402 ∀wral 2510 ∃wrex 2511 ifcif 3605 {cpr 3670 class class class wbr 4088 ‘cfv 5326 (class class class)co 6018 infcinf 7182 ℂcc 8030 ℝcr 8031 0cc0 8032 1c1 8033 · cmul 8037 +∞cpnf 8211 ℝ^*cxr 8213 < clt 8214 ≤ cle 8215 − cmin 8350 / cdiv 8852 ℕcn 9143 2c2 9194 ℕ₀cn0 9402 ℤcz 9479 ℤ_≥cuz 9755 ℚcq 9853 abscabs 11559 ∥ cdvds 12350 gcd cgcd 12526 ℙcprime 12681 pCnt cpc 12859

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-er 6702 df-en 6910 df-sup 7183 df-inf 7184 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-xnn0 9466 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-cj 11404 df-re 11405 df-im 11406 df-rsqrt 11560 df-abs 11561 df-dvds 12351 df-gcd 12527 df-prm 12682 df-pc 12860

This theorem is referenced by: pc11 12906 pcz 12907 pcprmpw2 12908 pockthg 12932

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