Theorem tfr0dm 6281

Description: Transfinite recursion is defined at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr0dm	⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem tfr0dm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4103	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		opexg 4200	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V)
3	1, 2	mpan 421	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V)
4		snidg 3599	. . . 4 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
6		fnsng 5229	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
7	1, 6	mpan 421	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
8		fvsng 5675	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
9	1, 8	mpan 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
10		res0 4882	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅) = ∅
11	10	fveq2i 5483	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
12	9, 11	eqtr4di 2215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
13		fveq2 5480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅))
14		reseq2 4873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))
15	14	fveq2d 5484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
16	13, 15	eqeq12d 2179	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))))
17	1, 16	ralsn 3613	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
18	12, 17	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))
19		suc0 4383	. . . . . 6 ⊢ suc ∅ = {∅}
20		0elon 4364	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ On
21	20	onsuci 4487	. . . . . 6 ⊢ suc ∅ ∈ On
22	19, 21	eqeltrri 2238	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ On
23		fneq2 5271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅}))
24		raleq 2659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
25	23, 24	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
26	25	rspcev 2825	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ On ∧ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
27	22, 26	mpan 421	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
28	7, 18, 27	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
29		snexg 4157	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∈ V)
30		eleq2 2228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}))
31		fneq1 5270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥))
32		fveq1 5479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓‘𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦))
33		reseq1 4872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓 ↾ 𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))
34	33	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))
35	32, 34	eqeq12d 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
36	35	ralbidv 2464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
37	31, 36	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
38	37	rexbidv 2465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
39	30, 38	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))) ↔ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))))
40	39	spcegv 2809	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∈ V → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦))))))
41	3, 29, 40	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦))))))
42		tfr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
43	42	eleq2i 2231	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ recs(𝐺))
44		df-recs 6264	. . . . . 6 ⊢ recs(𝐺) = ∪ {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
45	44	eleq2i 2231	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ recs(𝐺) ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ ∪ {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))})
46		eluniab 3795	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ ∪ {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))} ↔ ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))))
47	43, 45, 46	3bitri 205	. . . 4 ⊢ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))))
48	41, 47	syl6ibr 161	. . 3 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹))
49	5, 28, 48	mp2and 430	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹)
50		opeldmg 4803	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ dom 𝐹))
51	1, 50	mpan 421	. 2 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ dom 𝐹))
52	49, 51	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342  ∃wex 1479   ∈ wcel 2135  {cab 2150  ∀wral 2442  ∃wrex 2443  Vcvv 2721  ∅c0 3404  {csn 3570  ⟨cop 3573  ∪ cuni 3783  Oncon0 4335  suc csuc 4337  dom cdm 4598   ↾ cres 4600   Fn wfn 5177  ‘cfv 5182  recscrecs 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-res 4610  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-fv 5190  df-recs 6264

This theorem is referenced by:  tfr0  6282