Theorem ima0 4893

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4547	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 4818	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 4762	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 4790	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2162	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1331  ∅c0 3358  ran crn 4535   ↾ cres 4536   “ cima 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547

This theorem is referenced by:  fiintim  6810  fidcenumlemrk  6835  fidcenumlemr  6836  ennnfonelem1  11909  ennnfonelemhf1o  11915