Theorem ima0 5047

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4693	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 4969	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 4912	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 4940	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2231	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373  ∅c0 3462  ran crn 4681   ↾ cres 4682   “ cima 4683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-cnv 4688  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693

This theorem is referenced by:  fiintim  7040  fidcenumlemrk  7068  fidcenumlemr  7069  ennnfonelem1  12828  ennnfonelemhf1o  12834