Theorem ima0 5102

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4744	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5023	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 4966	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 4994	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2256	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398  ∅c0 3496  ran crn 4732   ↾ cres 4733   “ cima 4734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744

This theorem is referenced by:  supp0cosupp0fn  6445  fiintim  7166  fidcenumlemrk  7196  fidcenumlemr  7197  ennnfonelem1  13089  ennnfonelemhf1o  13095  eupth2lembfi  16398