Theorem ima0 5025

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4673	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 4947	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 4891	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 4919	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2218	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364  ∅c0 3447  ran crn 4661   ↾ cres 4662   “ cima 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673

This theorem is referenced by:  fiintim  6987  fidcenumlemrk  7015  fidcenumlemr  7016  ennnfonelem1  12567  ennnfonelemhf1o  12573