Theorem smo0 6277

Description: The null set is a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Andrew Salmon, 20-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smo0	⊢ Smo ∅

Proof of Theorem smo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4376	. . 3 ⊢ Ord ∅
2	1	iordsmo 6276	. 2 ⊢ Smo ( I ↾ ∅)
3		res0 4895	. . 3 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
4		smoeq 6269	. . 3 ⊢ (( I ↾ ∅) = ∅ → (Smo ( I ↾ ∅) ↔ Smo ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Smo ( I ↾ ∅) ↔ Smo ∅)
6	2, 5	mpbi 144	1 ⊢ Smo ∅

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∅c0 3414   I cid 4273   ↾ cres 4613  Smo wsmo 6264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-smo 6265

This theorem is referenced by: (None)